理解向量及其运算

与标量不同，向量需要多个数字来描述，通常使用一组线性无关的基向量来定义给定维度（在经典物理学中通常为三个）内的方向。任何向量都可以表示为这些基向量的线性组合。标量乘法和向量加法等运算涉及对向量的各个分量执行运算。

向量是同时由大小和方向定义的数学量，这使它们与只有大小的标量不同。它们通常表示为坐标空间中分量的有序集合——例如，在三维空间中表示为 $v =\left(v_x, v_y, v_z\right)$。

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方向性：向量指向特定方向。
大小：向量的长度或尺寸，对于三维向量 v，计算公式为 $\| v \|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$。

[](data:image/svg+xml;utf8,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="400em" height="1.88em" viewBox="0 0 400000 1944" preserveAspectRatio="xMinYMin slice"><path d="M983 90 l0 -0 c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000v40 H1013.1s-83.4,268,-264.1,840c-180.7,572,-277,876.3,-289,913c-4.7,4.7,-12.7,7,-24,7 s-12,0,-12,0c-1.3,-3.3,-3.7,-11.7,-7,-25c-35.3,-125.3,-106.7,-373.3,-214,-744 c-10,12,-21,25,-33,39s-32,39,-32,39c-6,-5.3,-15,-14,-27,-26s25,-30,25,-30 c26.7,-32.7,52,-63,76,-91s52,-60,52,-60s208,722,208,722 c56,-175.3,126.3,-397.3,211,-666c84.7,-268.7,153.8,-488.2,207.5,-658.5 c53.7,-170.3,84.5,-266.8,92.5,-289.5z M1001 80h400000v40h-400000z"></path></svg>)
相等性：如果两个向量的大小和方向都匹配，则它们相等。
坐标独立性：无论选择何种坐标系，它们的物理意义保持不变。

方向角定义了向量与坐标轴形成的角度；它们的方向余弦满足 $\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=11$。
向量通常在图形上表示为箭头，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。

向量在物理和工程中至关重要，用于表示方向很重要的量，例如力、速度、位移和电场。它们的运算使得解决几何问题、建模物理系统以及 формулировать 诸如电磁学和相对论等高级理论成为可能。

总之，向量结合了大小和方向，为数学和物理分析提供了一个多功能的框架，其运算如加法、减法、标量乘法、点积和叉积构成了其操作和应用的基础。

本节将涵盖标量积和叉积的可视化，以及在云计算环境中对标量和向量算术进行动画比较。

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综合摘录对于掌握学科的多方面性质至关重要。

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