当系统是连续的，并且其状态变量不仅随时间变化，而且随空间维度变化时，需要使用偏微分方程（PDEs）来推导运动方程。偏微分方程提供了描述这些空间分布属性如何相互作用和演化的数学框架。
选择使用常微分方程（ODE）还是偏微分方程（PDE）来描述“运动方程”，根本上取决于你试图建模的物理系统的性质。
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$\gg$Dynamic System Simulations and Derivations-12/12
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以下是我们有时需要使用偏微分方程（PDE）推导运动方程的原因：
描述连续系统（场）
- 离散系统的ODE： 当我们谈论单个粒子或刚体的运动时，它的位置（可能还有方向）可以用有限数量的坐标来描述，这些坐标只随时间变化。例如，摆锤的位置可以用一个只与时间相关的角度 θ(t) 来描述。这种系统的运动方程通常会产生一个常微分方程（ODE），例如 $F=ma$ 或牛顿第二旋转定律。
- 连续系统的PDE： 许多物理系统不是由离散粒子组成，而是连续地分布在空间中。在这些系统中，物理属性（如位移、温度、密度、压力或电场）可以在系统内从一个点到另一个点变化，并且也随时间变化。
- 对于此类系统，“状态”不仅是时间的函数 ($t$)，也是一个或多个空间变量（例如，$x,y,z$）的函数。
- 例如，振动弦的位移 $u(t,x)$ 取决于时间 $t$ 和沿弦的位置 $x$。热传导体中的温度 $T(t,x,y,z)$ 取决于时间和三个空间坐标。
- 为了描述这些空间变化的属性如何随时间演变，我们需要涉及对时间和空间都有偏导数的方程。这些就是偏微分方程。
捕捉空间相互作用和传播
PDE是必要的，因为它们可以建模：
- 传播： 扰动（如波、热或流体流动）如何通过空间传播。
- 扩散： 属性（如热量、浓度）如何随时间扩散。
- 色散： 不同频率的波以不同速度传播。
- 相邻点之间的相互作用： 连续介质中一点的行为受其相邻点的影响。PDE通过空间导数固有地捕捉这些局部相互作用。
运动方程推导为PDE的示例：
以下是一些其运动方程为PDE的常见物理现象：
- 波动方程：
- 系统：振动弦、空气中的声波、电磁波。
- PDE：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 u$ （其中 $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子，涵盖 $u_{x x}, u_{y y}$ 等）。
- 为什么是PDE？位移 $u$ 沿弦长 ($x$) 和随时间 ($t$) 变化。
- 热方程（扩散方程）：
- 系统：固体中的温度分布、化学物质的扩散。
- PDE： $\frac{\partial T}{\partial t}=k \nabla^2 T$。
- 为什么是PDE？温度 T 随空间 ($x,y,z$) 和时间 ($t$) 变化。