简单来说，特征向量指出了矩阵变换的主要方向，特征值则量化了沿这些方向的缩放程度。它们在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛应用，如振动分析、图像处理、数据降维等。特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）是线性代数中的重要概念。对于一个给定的方阵A，它的特征向量是指一个非零向量v，当A乘以v时，得到的新向量与v共线（即方向相同或相反）。而特征值λ则是描述特征向量v在变换中被缩放的比例。

以下方法提供了一种结构化的方法，通过求解其特征多项式（形式为 $c(t)=t^3 + e t^2 + f t + g$ 的三次方程）来计算矩阵的特征值。 主要步骤包括：

1. 变换多项式为降次三次方程，使用以下替换：

   $$ cˉ(s)= s^3 + p s + q $$

   $$ t = s - \frac{e}{3}, \quad p = f - \frac{e^2}{3}, \quad q = g - \frac{e f}{3} + \frac{2 e^3}{27} $$

2. 定义 $h$ 以确定根的性质：

   • 如果 $h>0$，则有一个实根和两个复共轭根。
   • 如果 $h<0$，则有三个不同的实根。
   • 如果 $h=0$，则根据 p 和 q 出现特殊情况。

3. 当存在三个实解时，用三角函数计算根：

   $$ \theta = \operatorname{acos} \left( -q / \left( 2 \sqrt{-p^3 / 27} \right) \right) / 3 $$

   然后使用 $cosθ$ 和 $sinθ$ 计算 $s_0,s_1,s_2$。

4. 通过加上 $e/3$，最终转换回原始变量 t。

此方法对于寻找 3×3 矩阵的特征值特别有用，其中特征方程是三次多项式。

🧠实现一个使用此方法的 Python 函数来计算特征值

https://gist.github.com/viadean/68d1de6c2daa57b616d72ef11ef3750b

修正后的实现成功计算了三次方程的实特征值。 在这种情况下，计算出的特征值约为 -3.47。

基于特征多项式的根及其重数计算特征向量。

• 三重根情况 $(t−t0)^3$:
  • 如果所有三个特征值都相同，则矩阵 A−t0​ 是零矩阵（秩为 0）。
  • 特征空间是3 维的，标准基向量为 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。
• 不同特征值情况 $(t - t_0)(t - t_1)(t - t_2)$:
  • 每个 $A−t_iI$ 的秩为 2，这意味着每个特征值的特征空间都是1 维的。
  • 要找到 $t_i$ 的特征向量：
    • 确定 $A−t_iI$ 的两个线性无关的行。
    • 计算这两行的叉积以获得特征向量。
  • 不同特征值的特征向量是正交的，因此对于三个特征值：
    • 计算 $t_0$ 和 $t_1$ 的特征向量。
    • $t_2$ 的特征向量是 $t_0$ 和 $t_1$ 的特征向量的叉积。
• 二重根情况 $(t - t_0)^2 (t - t_1)$:
  • 特征值 $t_0$ 的重数为 2，形成一个 2 维特征空间。
  • 矩阵 $A−t_0I$ 的秩为 1，这意味着存在一个非零行（记为 $U$）。
  • 计算两个与 $U$ 垂直的正交向量 $V_0,V_1$。 这些构成 $t_0$ 的特征向量基。
  • 如果 $A$ 是对称的，则向量 $U$ 本身就是 $t_1$ 的特征向量。

🧠实现一个使用此方法的 Python 函数来计算特征向量

https://gist.github.com/viadean/5083aa2a12a57346d9c0b8087ebef28c

计算出的给定矩阵 A 的特征向量是：

• 特征值 $λ_1≈2.00$：特征向量 [0.707,0,−0.707]
• 特征值 $λ_2≈0.63$：特征向量 [0.454,−0.766,0.454]

没有明确列出第三个特征向量，因为该函数在数值计算中仅识别出两个不同的特征值。