本文描述了在任意维度空间中寻找两线段之间最小距离的数学框架。它定义了平方距离函数，处理了退化情况，区分了平行和非平行线段，并确定了潜在的临界点。

1. 线段的参数化表示：

两条线段用参数化形式定义：

• 线段 1: P(s) = (1-s)P0 + sP1，其中 s 的取值范围为 [0, 1]。
• 线段 2: Q(t) = (1-t)Q0 + tQ1，其中 t 的取值范围为 [0, 1]。
• $P_0$ 和 $P_1$ 是第一条线段的端点，$Q_0$ 和 $Q_1$ 是第二条线段的端点。

2. 平方距离函数：

线段上任意两点 P(s) 和 Q(t) 之间的平方距离由以下二次函数给出：

$R(s, t) = |P(s) - Q(t)|^2 = as^2 - 2bst + ct^2 + 2ds - 2et + f$

其中系数 a、b、c、d、e 和 f 使用线段端点差的向量点积定义。

3. 退化情况：

该算法处理了一条或两条线段长度为零（变成点）的退化情况。这简化为点到线段或点到点的距离计算。

4. 平行和非平行线段：

• 项 $Δ = ac - b^2$ 决定了线段是否平行。
• 如果 Δ > 0，则线段不平行。R(s, t) 表示一个抛物面。
• 如果 Δ = 0，则线段平行。R(s, t) 表示一个抛物柱面。

5. 最小化策略：

目标是找到 R(s, t) 在单位正方形 [0, 1] x [0, 1]（表示 s 和 t 的有效范围）内的最小值。最小值可能出现在：

• 内部： R 的梯度为零的位置。
• 边界： 单位正方形的四个边之一上。