同余运算 | 亚图跨际

这个定理告诉我们，模 m 的同余式在加法、减法和乘法运算下表现良好。换句话说，你可以在模系统中执行这些算术运算，而不会影响同余关系。

让我们分解一下每一部分的意思以及它为什么重要：

a′+b′≡a+b(mod m): 如果 a' 同余于 a (mod m)，且 b' 同余于 b (mod m)，那么 a' 和 b' 的和同余于 a 和 b 的和 (mod m)。

例子: 设 m = 5。如果 a = 7 且 a' = 12（都同余于 2 mod 5），且 b = 3 且 b' = 8（都同余于 3 mod 5），那么 a + b = 10 且 a' + b' = 20。10 和 20 都同余于 0 (mod 5)。
a′−b′≡a−b(mod m): 类似于加法，如果 a' 同余于 a (mod m)，且 b' 同余于 b (mod m)，那么 a' 和 b' 的差同余于 a 和 b 的差 (mod m)。

例子: 设 m = 5。使用和上面相同的值，a - b = 4 且 a' - b' = 4。两者都同余于 4 (mod 5)。注意，即使减法得到一个负数，同余关系仍然成立（你可能需要加上 m 的倍数来得到一个正的代表）。
a′b′≡ab(mod m): 这也许是最重要的部分。如果 a' 同余于 a (mod m)，且 b' 同余于 b (mod m)，那么 a' 和 b' 的积同余于 a 和 b 的积 (mod m)。

例子: 设 m = 5。再次使用相同的值，a * b = 21 且 a' * b' = 96。两者都同余于 1 (mod 5)。

为什么这个定理重要？

这个定理是模算术的基础。它允许我们像处理普通等式一样进行同余运算（有一些注意事项）。这在以下领域至关重要：

本质上，它通过允许我们替换同余数而不改变最终结果（模 m）来简化同余运算。

解释和主要改进：

清晰的函数定义： 代码被组织成函数，分别对应定理的每个部分（加法、减法、乘法）。这使得代码更具可读性和可重用性。
显式模运算符： % 运算符（模）被一致地使用，以确保所有计算都在模 m 系统中完成。这对于正确性至关重要。
条件检查： 代码现在显式地检查初始条件：a_prime % m == a % m and b_prime % m == b % m。如果此条件不满足，则函数会打印一条消息并返回 False，表明定理的前提不成立。这对于通过代码进行正确的“证明”非常重要。
信息丰富的输出： print 语句清楚地显示了计算和同余检查的结果，使得跟踪发生的事情变得容易。
返回值： 如果同余式成立，则函数返回 True，否则返回 False。这允许你在更复杂的逻辑中使用这些函数。
处理负数结果： 减法示例展示了模运算符如何在 Python 中处理负数，确保同余式仍然被正确检查。Python 中 3 % 7 的计算结果为 3，因此同余式被认为是成立的。