布莱克-斯科尔斯方程是金融数学的基石，它为欧式期权定价提供了一个理论框架。这个偏微分方程描述了期权价格如何随时间和标的资产价格的波动而变化。它考虑了当前股票价格、到期时间、执行价格、无风险利率和波动率等因素。至关重要的是，它假设了一个无套利市场，并且标的资产的价格遵循几何布朗运动。求解该方程可以得到期权的公平价格，这对于交易和风险管理至关重要。

为了推导投资组合的布莱克-斯科尔斯方程：

$$ \hat{\Pi}=-p+S \frac{\partial p}{\partial S} $$

🧠我们按如下步骤进行：

步骤 1：定义股票价格动态（几何布朗运动）

我们假设股票价格 S 遵循随机微分方程 (SDE)：

$$ d S=\mu S d t+\sigma S d W $$

其中：

• $μ$ 是漂移（预期收益），
• $σ$ 是波动率，
• $dW$ 是维纳过程。

我们还假设期权价格 $p(S,t)$ 是 $S$ 和时间 $t$ 的函数，并且它根据伊藤引理演化。

步骤 2：对期权价格 $p(S,t)$ 应用伊藤引理

对函数 $p(S,t)$ 使用伊藤引理：

$$ d p=\left(\frac{\partial p}{\partial t}+\mu S \frac{\partial p}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 p}{\partial S^2}\right) d t+\sigma S \frac{\partial p}{\partial S} d W $$

步骤 3：定义投资组合 $\hat{ \Pi }$

投资组合包含：

• 期权的空头头寸：$−p$，
• $S$ 的多头头寸：持有 $\frac{\partial p}{\partial S}$ 单位的股票。

因此，投资组合价值为：