舒尔分解保证了任何复数方阵都可以通过酉变换转化为上三角矩阵。舒尔分解是线性代数中的一个基本结果，有几个重要的应用：

• 特征值： A 的特征值是上三角矩阵 U 的对角线元素。这使得舒尔分解成为计算特征值的宝贵工具，尤其是对于大型矩阵。
• 矩阵分析： 在处理三角矩阵时，许多矩阵分析问题都得到简化。舒尔分解允许我们将一般矩阵转换为三角形式，从而更容易分析其性质。
• 数值算法： 舒尔分解用于各种数值算法，包括求解特征值问题和计算矩阵指数的算法。它比直接尝试对角化矩阵在数值上更稳定。
• 理论结果： 舒尔分解是其他重要线性代数定理证明中的关键要素。

示例：舒尔分解求解特征值问题

给定矩阵：

$$ A=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\1 & 3\end{array}\right] $$

我们想要找到一个酉矩阵 Q，使得：

$$ Q^* A Q=U $$

其中 $U$ 是一个上三角矩阵，且 $A$ 的特征值出现在其对角线上。

步骤 1：计算 A 的特征值

特征值通过求解以下方程找到：

$$ \begin{aligned}& \operatorname{det}(A-\lambda I)=0 \\& \left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 2 \\1 & 3-\lambda\end{array}\right|=0\end{aligned} $$

展开行列式：

$$ \begin{gathered}(4-\lambda)(3-\lambda)-(2 \cdot 1)=0 \\12-4 \lambda-3 \lambda+\lambda^2-2=0 \\\lambda^2-7 \lambda+10=0\end{gathered} $$

因式分解：

$$ (\lambda-5)(\lambda-2)=0 $$

因此，特征值为：

$$ \lambda_1=5, \quad \lambda_2=2 $$