力/力矩向量的变换矩阵用于在不同坐标系之间映射力和力矩。它同时考虑了旋转和平移。该矩阵将旋转矩阵与包含坐标系相对位置向量的项相结合，反映了远处力如何产生力矩。这种变换对于机器人学和力学中分析刚体平衡和运动至关重要，它能够计算物体上不同点的等效力和力矩。这对于机器人操作和动力学模拟等任务至关重要。

我们有：

$$ \left[\begin{array}{c} { }^j m _j \\ { }^j f _j \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} { }^j R _i-{ }^j R _i{ }_i \hat{ r }_j \\ 0 _3 & { }^j R _i \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} i \\ { }^i m _i \\ { }^i f _i \end{array}\right]={ }^j \overline{ T }_i\left[\begin{array}{c} { }^i m _i \\ { }^i f _i \end{array}\right] $$

简化为：

$$ \left[\begin{array}{c} { }^j f _j \\ { }^j m _j \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} { }^j R _i & 0 _3 \\ -{ }^j R _i{ }^i \hat{ r }_j{ }^j R _i \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} { }^i f _i \\ { }^i m _i \end{array}\right] $$

变换的关键组成部分包括：

变换分解

  1. 第一种表达形式：

$$ \left[\begin{array}{c} { }^j m_j \\ { }^j f_j \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} { }^j R_i-{ }^j R_{i i} \hat{r}_j & 0_3 \\ 0_3 & { }^j R_i \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} { }^i m_i \\ { }^i f_i \end{array}\right] $$

这里，旋转矩阵 jRi​ 直接应用于力，而力矩则通过旋转和力的力矩贡献进行变换。

  1. 替代表达形式：

$$ \left[\begin{array}{c} { }^j f_j \\ { }^j m_j \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} { }^j R_i & 0_3 \\ { }_{-}{ }^j R_i{ }^i \hat{r}_j{ }^j R_i & { }^j R_i \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} { }^i f_i \\ { }^i m_i \end{array}\right] $$

这种形式有时在机器人学和多体动力学中更受欢迎。

  1. 紧凑记法：

$$ { }^j w_j={ }^i \bar{T}_j^{T_i} w_i $$

其中变换矩阵 $\bar{T}_j^{T_i}$ 关联了不同坐标系中的力矩表示。

解释