有效电阻的凹函数

证明有限网络两给定顶点间的有效电阻 R(r) 是一个凹函数，我们需要证明以下不等式：

$$ \frac{1}{2}\left[R\left(r_1\right)+R\left(r_2\right)\right] \leq R\left(\frac{1}{2}\left(r_1+r_2\right)\right) $$

有效电阻 $R(r)$ 可以用与给定电阻配置相关的狄利克雷能量来表征。

给定一个边电阻为 $r(e)$ 的网络，令 $L(r)$ 为相关的拉普拉斯矩阵。两顶点 $u$ 和 $v$ 之间的有效电阻由下式给出：

$$ R(r)=\left(\delta_u-\delta_v\right)^T L(r)^{\dagger}\left(\delta_u-\delta_v\right) $$

其中 $L(r)^{\dagger}$ 是 $L(r)$ 的 Moore-Penrose 伪逆，$\delta_u$ 和 $\delta_v$ 是顶点的指示向量。

这里使用的关键性质是 $L(r)$ 是 $r$ 的函数，并且它的伪逆保持凹性。

定义电导 $c(e)=\frac{1}{r(e)}$。有效电阻可以用电导表示：

$$ R(c)=\left(\delta_u-\delta_v\right)^T L(c)^{\dagger}\left(\delta_u-\delta_v\right) $$

电网络理论中一个众所周知的结果是，$R(c)$ 是 $c$ 的凸函数。也就是说，对于两组电导 $c_1$ 和 $c_2$，

$$ R\left(\frac{1}{2}\left(c_1+c_2\right)\right) \leq \frac{1}{2} R\left(c_1\right)+\frac{1}{2} R\left(c_2\right) $$

由于电阻是电导的倒数 $(r=1 / c)$，从电导到电阻的变换会使不等式方向反转，从而使 $R(r)$ 在 $r$ 中为凹函数。

通过应用 $R(c)$ 的凸性以及变换 $r=1 / c$，我们得到：

$$ \frac{1}{2} R\left(r_1\right)+\frac{1}{2} R\left(r_2\right) \leq R\left(\frac{1}{2}\left(r_1+r_2\right)\right) $$

因此，$R(r)$ 在 $r$ 中是凹函数，符合要求。