径向对称： 当一个量（如浓度或温度）仅依赖于到中心点的距离时，就发生径向对称。在球坐标系中，这意味着该量仅是半径 'r' 的函数，而不是角度 'θ' 或 'φ' 的函数。本质上，在给定半径的球体上的所有点的值都是相同的。轴对称： 当一个量与方位角 'φ' 无关时，就发生轴对称。这意味着该量可以随半径 'r' 和极角 'θ' 变化，但在绕中心轴旋转时保持不变。

径向对称（一维情况：u(r, t)）

• 方程简化为：

  $$ \frac{\partial u}{\partial t}=D\left[\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r}\right] $$

• 有限差分近似：

  • 时间导数：前向差分

    $$ \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} $$

  • $r$ 的二阶导数：中心差分

    $$ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} \approx \frac{u_{i+1}^n-2 u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta r^2} $$

  • $r$ 的一阶导数：中心差分

    $$ \frac{\partial u}{\partial r} \approx \frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2 \Delta r} $$

• 数值格式：

  $$ u_i^{n+1}=u_i^n+\frac{D \Delta t}{\Delta r^2}\left[u_{i+1}^n-2 u_i^n+u_{i-1}^n\right]+\frac{2 D \Delta t}{r_i \Delta r}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right) $$

  • 其中：
    • $i$ 表示 $r$ 中的空间索引，
    • $n$ 表示时间索引。

轴对称情况（二维：$u(r, θ, t)$）

• 方程简化为：

  $$ \frac{\partial u}{\partial t}=D\left[\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)\right] $$

• 有限差分近似：

  • 径向项：

    $$ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right) \approx \frac{1}{r_i^2}\left[\frac{\left(r_{i+1 / 2}^2 D_{i+1 / 2} \frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\Delta r}\right)-\left(r_{i-1 / 2}^2 D_{i-1 / 2} \frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\Delta r}\right)}{\Delta r}\right] $$

  • 角度项：

    $$ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right) \approx \frac{1}{r^2 \sin \theta_j}\left[\frac{\left(\sin \theta_{j+1 / 2} \frac{u_{j+1}^n-u_i^n}{\Delta \theta}\right)-\left(\sin \theta_{j-1 / 2} \frac{u_j^n-u_{j-1}^n}{\Delta \theta}\right)}{\Delta \theta}\right] $$

• 数值格式：

  $$ u_{i, j}^{n+1}=u_{i, j}^n+D \Delta t\left[\frac{1}{r_i^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r_i^2 \sin \theta_j} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)\right] $$

一维径向扩散实现（显式方法）

• 此脚本求解：

  $$ \frac{\partial u}{\partial t}=D\left[\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r}\right] $$

  • 使用有限差分方法。

• 假设：

  • 固定域：$r \in[0, R]$
  • 初始条件：高斯热脉冲
  • 边界条件：
    • 在 $r=0$ 处，应用诺伊曼条件 $\frac{\partial u}{\partial r}=0$（中心无通量）
    • 在 $r=R$ 处，应用狄利克雷条件 $u=0$（例如，固定温度）

https://gist.github.com/viadean/12200f812d9be3979e3a788dfba7b3e8

• 主要特点：
  • 使用显式有限差分方法。
  • 在 $r=0$ 处实现诺伊曼边界条件（无通量）。
  • 在 $r=R$ 处实现狄利克雷边界条件（固定温度）。
  • 初始条件：$r=0.5$ 处的高斯脉冲。
  • 绘制随时间变化的扩散剖面。

扩展到二维轴对称情况

• 对于轴对称方程：

  $$ \frac{\partial u}{\partial t}=D\left[\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)\right] $$

• 我们可以：

  • 在 $r$ 和 $θ$ 中使用二维有限差分网格。
  • 使用以下方法进行离散化：
    • 空间导数的中心差分。
    • 时间演化的前向欧拉。
  • 使用显式格式求解。

• 数值方法：

  • 求解：

    $$ \frac{\partial u}{\partial t}=D\left[\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)\right] $$

  • 有限差分近似：

    • 时间导数：前向差分

      $$ \frac{u_{i, j}^{n+1}-u_{i, j}^n}{\Delta t} $$

    • 径向项：二阶中心差分

      $$ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right) \approx \frac{1}{r_i^2}\left[\frac{\left(r_{i+1 / 2}^2 u_{i+1}^n-r_i^2 u_i^n\right)-\left(r_i^2 u_i^n-r_{i-1 / 2}^2 u_{i-1}^n\right)}{\Delta r^2}\right] $$

    • 角度项：二阶中心差分

      $$ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right) \approx \frac{1}{r^2 \sin \theta_j}\left[\frac{\sin \theta_{j+1 / 2} u_{j+1}^n-\sin \theta_j u_j^n}{\Delta \theta}-\frac{\sin \theta_j u_j^n-\sin \theta_{j-1 / 2} u_{j-1}^n}{\Delta \theta}\right] $$

二维轴对称扩散：

https://gist.github.com/viadean/73329ad04d7686170db983ec6b1c88bd