化学计量矩阵分析是研究化学反应系统，特别是在系统生物学和化学工程领域中的一项基础工具。它提供了一种结构化的方法来表示和分析反应网络中各组分之间的关系。

示例 1：简单反应网络

考虑以下反应系统：

$$ \begin{gathered} A+B \xrightarrow{k_1} C \\ C \xrightarrow{k_2} D \end{gathered} $$

其中：

• $A+B$ 以速率常数 $k_1$ 反应生成 $C$。
• $C$ 以速率常数 $k_2$ 降解为 $D$。

步骤 1：定义物种和反应。涉及的化学物种：

$$ S=\{A, B, C, D\} $$

反应速率（$r_1, r_2$）使用质量作用动力学：

• $r_1=k_1[A][B]$
• $r_2=k_2[C]$

步骤 2：构建化学计量矩阵。化学计量矩阵 ($N$) 捕捉每个物种由于反应而发生的变化。

$$ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { Species } & \text { Reaction } 1(A+B \rightarrow C) & \text { Reaction } 2(C \rightarrow D) \\ \hline A & -1 & 0 \\ \hline B & -1 & 0 \\ \hline C & +1 & -1 \\ \hline D & 0 & +1 \\ \hline \end{array} $$

步骤 2：因此，化学计量矩阵为：

$$ N=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & 0 \\ +1 & -1 \\ 0 & +1 \end{array}\right] $$

步骤 3：寻找守恒定律。为了找到守恒量，我们确定 $N$ 的零空间，这意味着我们求解：

$$ N^T c =0 $$

其中 $c =\left(c_1, c_2, c_3, c_4\right)^T$ 表示守恒量。求解：

$$ \left[\begin{array}{cccc} -1 & -1 & +1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & +1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] $$