马利亚文导数是随机演算中的一个强大工具，它允许我们分析随机变量概率密度的光滑性，这些随机变量是随机过程（特别是维纳过程）的泛函。
马利亚文演算提供了一个分析随机过程泛函概率密度光滑性的框架。目标是确定随机变量F在勒贝格测度下具有光滑密度函数 $p_F(x)$ 的条件。
马利亚文导数及其直观理解
设 $(W_t)_{t \geq 0}$ 是概率空间 ($\Omega, F, P$) 上的标准维纳过程。对于泛函 $F=f(W)$，马利亚文导数$D_t F$衡量 $F$ 对布朗运动在时间t的小扰动的敏感度。
形式上，马利亚文导数定义为：
$$ D_t F=\lim {\epsilon \rightarrow 0} \frac{F\left(W+\epsilon 1{[t, T]}\right)-F(W)}{\epsilon} $$
如果极限在 $L^2(\Omega)$ 中存在。
对于 $F=W_T$，马利亚文导数很简单：
$$ D_t W_T= 1 _{[0, T]}(t) $$
因为对于$t \leq T，W_t$的扰动会传播到 $W_T$。
考虑随机微分方程：
$$ d X_t=b\left(X_t\right) d t+\sigma\left(X_t\right) d W_t, \quad X_0=x_0 $$
时间T的解记为 $F=X_T$，我们对密度 $p_F(x)$ 的光滑性感兴趣。
为了应用马利亚文演算，我们计算马利亚文导数：
$$ D_s X_T=\sigma\left(X_s\right)+\int_s^T \frac{\partial b}{\partial x}\left(X_u\right) D_s X_u d u+\int_s^T \frac{\partial \sigma}{\partial x}\left(X_u\right) D_s X_u d W_u $$
在 $\sigma\left(X_t\right)$ 的适当非退化条件下，这个导数允许我们研究密度 $p_F(x)$。
主要结果来自马利亚文正则性准则，它指出如果： $F=X_T$ 在马利亚文索博列夫空间 $D ^{1,2}$ 中， 马利亚文协方差矩阵是非退化的（即，它具有满秩），那么概率密度 $p_F(x)$ 是无限可微的$\left(C^{\infty}\right)$。