多尺度： 许多物理现象和工程系统在多个空间尺度上表现出行为。示例包括具有微观纤维的复合材料、具有复杂孔隙网络的孔隙介质以及具有各种尺寸涡流的湍流。

可分离尺度： 当这些多尺度是不同的并且可以分离时，就会发生尺度分离。这意味着一个尺度的行为不会强烈影响另一个尺度的行为。

说明性示例

描述提供了三个具有尺度分离的函数示例：

1. 双尺度函数：
   • $2+x \cos \left(\frac{x}{\epsilon}\right)$
   • 此函数具有缓慢变化的幅度（尺度 1）和快速振荡的分量（尺度 $\epsilon$）。
   • 参数 ϵ 控制尺度之间的分离；较小的 ϵ 意味着更强的分离。
2. 多尺度函数（相同阶数）：
   • $2+x+\sum_{i=1}^{10} \cos \left(\frac{x r_i}{\epsilon}\right)$
   • 此函数具有多个具有不同频率的振荡分量（由于随机数 $r_i$），但所有这些分量都具有相同的尺度 $\epsilon$。
3. 多尺度函数（不同阶数）：
   • $2+x+\sum_{i=1}^{10} \cos \left(\frac{x r_i}{\epsilon}\right)+\sum_{i=11}^{20} \cos \left(\frac{\pi r_i}{\epsilon^i}\right)$
   • 此函数在两个不同的尺度 $\epsilon$ 和 $\epsilon^i$ 上具有振荡分量，展示了更强的尺度分离。

可视化表示（图 1）

• 图 1 中的左图可能描绘了第一个示例（双尺度函数）。您应该看到一条平滑曲线，叠加了高频振荡。
• 图 1 中的右图可能描绘了第二个示例（相同阶数的多尺度）。您应该看到一个更复杂的模式，具有多个重叠的振荡。

多维示例和图 2

• 描述提到，类似的尺度分离可以发生在多维场中。
• 图 2 可能显示了一个材料的示例，其中高电导率的夹杂物分散在基质中。这表示一个具有尺度分离的情况，其中夹杂物的尺度远小于整体材料。

https://gist.github.com/viadean/e357bc316e04a425bcbcb60335e42560

Figure 2

Figure 1