泊松分布是概率论和统计学中的一个基本概念，用于模拟在给定时间或空间间隔内发生给定数量事件的概率，前提是这些事件以已知的恒定平均速率发生，并且与自上次事件发生以来的时间无关。以下是其关键方面的细分：

关键特征：

• 离散分布：
  • 泊松分布处理可数事件，意味着结果是整数（0、1、2、3...）。
• 单一参数 ($\lambda$)：
  • 该分布由一个单一参数 $\lambda$ 表征，它表示给定间隔内的平均事件数。
  • 重要的是，在泊松分布中，均值和方差都等于 $\lambda$。
• 独立性：
  • 一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
• 恒定速率：
  • 事件的平均速率在指定间隔内保持恒定。

公式：

在给定间隔内观察到 k 个事件的概率由泊松概率质量函数 (PMF) 给出：

$$ \operatorname{Pr}(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$

其中：

• $P(X = k)$ 是发生 $k$ 个事件的概率。
• $e$ 是欧拉数（约 2.71828）。
• $\lambda$ 是事件的平均数（速率参数）。
• $k$ 是事件数（非负整数）。
• $k!$ 是 $k$ 的阶乘。

应用：

泊松分布广泛应用于各个领域，包括：

• 电信：
  • 模拟呼叫中心在给定时间段内收到的电话呼叫数量。
• 医疗保健：
  • 分析急诊室的患者到达人数。
  • 研究罕见疾病的发生。
• 金融：
  • 模拟给定时期内股市崩盘的次数。