围绕 $X$ 轴，由两点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 和 $P^{\prime}\left(x_2, y_2\right)$ 之间的曲线段 $C$ 进行完整旋转，从而获得最小的旋转曲面 $S$。

(1) 证明曲面 S 可以表示为

$$ S=2 \pi \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x $$

(2) 证明曲线 $C$ 的微分方程为

$$ y y^{\prime \prime}=1+y^{\prime 2} $$

(3) 确定曲线 $C$ 的形状，使曲面 $S$ 最小。

🧠悬链面

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🧠理论分析

1. 旋转曲面的表面积

• 理解设置：
  • 我们有一个在 xy 平面上的曲线 C，由点 P(x₁, y₁) 和 P'(x₂, y₂) 之间的 y = f(x) 定义。
  • 该曲线绕 x 轴旋转，形成旋转曲面 S。
• 表面积的推导：
  • 考虑曲线 C 的一个小线段，长度为 ds。
  • 当该线段绕 x 轴旋转时，它形成一个半径为 y，宽度为 ds 的环。
  • 该环的面积为 2πy ds。
  • 总表面积 S 是这些环面积的积分：S = ∫ 2πy ds。
  • 我们知道 ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx = √(1 + y'²) dx。
  • 因此，表面积 S 由下式给出：
    • S = 2π ∫[x₁, x₂] y √(1 + y'²) dx。

2. 曲线的微分方程

• 变分法：
  • 为了找到使表面积 S 最小的曲线，我们需要使用变分法。
  • 我们想要最小化积分：∫[x₁, x₂] y √(1 + y'²) dx。
  • 设 F(y, y') = y √(1 + y'²)。
  • 欧拉-拉格朗日方程为：∂F/∂y - d/dx (∂F/∂y') = 0。
• 计算偏导数：
  • ∂F/∂y = √(1 + y'²)
  • ∂F/∂y' = y y' / √(1 + y'²)
• 应用欧拉-拉格朗日方程：
  • √(1 + y'²) - d/dx (y y' / √(1 + y'²)) = 0
  • √(1 + y'²) = d/dx (y y' / √(1 + y'²))
  • (1 + y'²) = d/dx (y y') / √(1 + y'²) * √(1+y'²)
  • (1 + y'²) = d/dx(yy')
  • (1 + y'²) = y'y' + yy''
  • yy'' = 1 + y'²
• 结果：
  • 曲线 C 的微分方程为 yy'' = 1 + y'²。

3. 曲线的形状

• 求解微分方程：
  • 微分方程 yy'' = 1 + y'² 是一个二阶非线性微分方程。
  • 设 y' = p，则 y'' = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = p dp/dy。
  • 方程变为：yp dp/dy = 1 + p²。
  • 分离变量：y dy = p dp / (1 + p²)。
  • 两边积分：∫ y dy = ∫ p dp / (1 + p²)。
  • y²/2 = (1/2) ln(1 + p²) + C₁。
  • y² = ln(1 + p²) + 2C₁。
  • 设 2C₁ = ln(C₂²)，其中 C₂ 是一个常数。
  • y² = ln(1 + p²) + ln(C₂²) = ln(C₂²(1 + p²))。
  • e^(y²) = C₂²(1 + p²)。
  • p² = (e^(y²)/C₂²) - 1。
  • p = dy/dx = ±√((e^(y²)/C₂²) - 1)。
  • 这导致悬链线的方程。