二阶曲线，也称为圆锥曲线，是通过平面与双锥的交线获得的曲线。这些曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。它们由以下形式的二次方程定义：

$$ A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 $$

其中 $A,B,C,D,E,F$ 是常数。

二阶曲线的类型

1. 椭圆（包括圆）

   • 一般方程：

     $$ \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$

   • 如果 $a=b$，则它是圆。

   • 如果 A,C>0 且 $B^2-4 A C<0$，则它是椭圆。

2. 抛物线

   • 一般方程：

     $$ y=a x^2+b x+c $$

   • 抛物线有一个焦点和一个准线。

   • 如果 $B^2-4 A C=0$，则它是抛物线。

3. 双曲线

   • 一般方程：

     $$ \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$

   • 双曲线由两个分支组成。

   • 如果 $B^2-4 A C>0$，则它是双曲线。

特殊情况

• 当圆锥曲线退化为一对直线、一个点或消失时，会出现退化情况。

🧠绘制椭圆、抛物线和双曲线

https://gist.github.com/viadean/a5515c762b1024e489c6313653121b5c

代码解释：

1. 椭圆：使用参数方程 $x=h+a \cos (t), y=k+b \sin (t)$。
2. 抛物线：使用标准二次方程 $y=a(x-h)^2+k$。
3. 双曲线：使用双曲函数 $x=h \pm a \cosh (t), y=k \pm b \sinh (t)$。
4. 在同一张图上绘制所有曲线，并带有图例和轴标签。