长度交比 $l^{\prime} r_{i j}$ 是三角剖分曲面中两个相邻三角形共享的公共边 $ij$ 的几何量。其定义为：

$$ \operatorname{lcr}{i j}=\frac{\ell{i l} \ell_{j k}}{\ell_{l j} \ell_{k i}} $$

其中：

• $\ell_{a b}$ 表示顶点 a 和 b 之间边的长度，
• 考虑的两个三角形是 $\triangle i j k$ 和 $\triangle j i l$，
• 曲面的方向在确保一致的定义中起作用。

解释和性质

1. 与复数交比的关系：
   • 如果三角剖分嵌入在复平面中，则长度交比对应于四个顶点的复数交比的模。复数交比是共形不变量，用于衡量四个点相对于彼此的排列方式。
2. 顶点周围的乘积为 1：
   • 对于任何内部顶点 $i$，所有连接到 $i$ 的边 $ij$ 的长度交比的乘积满足：
   • $\prod_{i j \ni i} \operatorname{lcr}_{i j}=1$
   • 此结果源于形成乘积时边长抵消的方式。
3. 在离散几何中的重要性：
   • 长度交比在离散微分几何和计算几何中很重要，特别是在离散共形映射的研究中。
   • 它在定义三角剖分曲面上的共形结构中起作用，其中保持交比维持了离散的共形等价概念。
4. 在不可定向曲面上的行为：
   • 定义假定了一个方向，这对于一致地定义交比是必要的。
   • 在不可定向曲面上，长度交比在定向双重覆盖上定义良好，其中局部恢复了方向。

应用

• 离散共形几何： 长度交比用于共形参数化和离散里奇流的算法中。
• 计算网格处理： 交比的保持在形状变形和纹理映射中很有用。
• 数学物理： 交比出现在离散可积系统和与统计力学的联系中。

通过示例理解长度交比

考虑两个相邻的三角形 $\triangle i j k$ 和 $\triangle j i l$，它们共享边 $ij$。

我们分配边长如下：

• $\ell_{i j}$：边 $ij$ 的长度
• $\ell_{i k}$：边 $ik$ 的长度