直交分解 ：$V$ 内の任意のペクトルは，部分空間 $W$ とその直交補空間 $W^{\perp}$ の成分に一意に分解でき ます。これにより，自己随伴かつ雷等である直交射影演算子 $P$ の定義が可能になります。
射影の行列表現：射影行列 $P, Q, R$ は，標準基底変換の観点から射影演算子がどのように機能する かを明確に示しています。和 $Q+R=I$ は，すべてのベクトルが $W$ と $W^{\perp}$ の成分に分解されるこ とを確認します。
統計学との関連性：相関は，2つのペクトル間の角度の余弦として自然に解粎されます。次に，偏相関は，3番目の変数に直交する超平面へのそれらの射影間の角度の余弦に対応します。
偏相関の幾何学的直観：交絡変数 $z$ の影響を取り除くことにより，残差ペクトル $r_x$ と $r_y$ は，$x$ と $y$ の直接的な関係をより明確に示します。これは，回帰分析における偏相関の解粎とよく一致します。