偏微分方程式（PDEs）の解析解が困難な場合が多いため、有限差分法（FDM）、有限要素法（FEM）、有限体積法（FVM）といった数値解法が強力な近似ツールとなります。これらの手法はそれぞれ異なるアプローチ（FDMは導関数の離散化、FEMは変分法の定式化、FVMは積分形式の保存則）を採用し、安定性解析や境界条件といった概念に基づいて、様々な分野の多様な問題を解決します。
偏微分方程式（PDE）を解析的に解くことは、特に複雑な形状や非線形性を持つ問題の場合、しばしば不可能です。そこで数値計算法が強力なツールとして登場し、近似解を提供します。ここでは、主要な3つのアプローチ、有限差分法（FDM）、有限要素法（FEM）、そして**有限体積法（FVM）**を探っていきましょう。
有限差分法はおそらく最も直感的なアプローチです。これは、離散的な時空間グリッド上で差分商を用いて導関数を近似することに依拠しています。
陰的オイラー法やリープフロッグ法といった他のスキームは異なる安定性特性を提供します。Crank-Nicolsonスキームは、広く使われている2次精度の陰的スキームです。
ノイマン境界条件： これらは境界における導関数を指定するものです。境界ノードで有限差分近似を用いることで実装できます。
安定性解析： クーラン-フリードリヒス-レヴィ（CFL）条件のような概念は、明示的な時間発展スキームの安定性を保証するために不可欠です。離散フーリエ変換による安定性（フォン・ノイマン安定性解析）やエネルギー法などの手法は、有限差分スキームの安定性を解析するために用いられます。ダールキストのゼロ安定性条件は、多段階法に関連します。
有限要素法は変分アプローチをとります。まずPDEを弱形式で定式化し、次に領域のメッシュ上で定義された区分的多項式関数の有限次元空間内で近似解を求めます。
一般抽象変分近似スキーム： 有限次元部分空間 Vh 内で、元のPDEから導出された変分方程式を満たす解 uh を見つけ出すことを含みます。
1次元におけるFEM： 領域は要素（区間）に分割され、解は各要素内で区分的多項式（例：線形ラグランジュ要素）によって近似されます。
行列の組み立て： 弱形式は線形方程式系 Au=b につながり、剛性行列 A と荷重ベクトル b は各要素にわたる積分によって組み立てられます。
収束と誤差評価： メッシュが細かくなるにつれて、FEM解は真の解に収束します。誤差評価は、近似解と厳密解の差に対する上限を提供します。
ノイマン条件とフーリエ条件： これらの境界条件は、境界積分を通じて問題の弱形式に自然に組み込むことができます。
有限体積法は、保存則の積分形式に基づいています。領域はコントロールボリュームに分割され、各コントロールボリューム上でPDEが積分されます。その後、コントロールボリュームの界面でのフラックスが近似されます。
1次元の楕円型ケース： 楕円型方程式の積分形式は、各体積の境界でのフラックスを近似することによって離散化されます。