由于偏微分方程（PDEs）的解析解通常难以求得，有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限体积法（FVM）等数值方法提供了强大的近似工具。它们各自采用不同的方法（分别为导数离散化、变分形式和积分守恒定律），并依赖于稳定性分析和边界条件等概念，以解决各个领域的多种问题。
解析地求解偏微分方程 (PDEs) 通常是不可能的，特别是对于具有复杂几何形状或非线性的问题。这就是数值方法发挥作用的地方，它们提供了强大的工具来逼近解。让我们探讨三种基本方法：有限差分法 (FDM)、有限元法 (FEM) 和有限体积法 (FVM)。
有限差分法可能是最直观的方法。它依赖于在离散的时空网格上使用差商来逼近导数。
其他方案如隐式欧拉和 Leapfrog 提供不同的稳定性特性。Crank-Nicolson 方案是一种流行的二阶精确隐式方法。
诺依曼边界条件：这些条件涉及指定边界处的导数。它们可以通过在边界节点处使用有限差分逼近来实现。
稳定性分析：Courant–Friedrichs–Lefy (CFL) 条件等概念对于显式时间步进方案至关重要，以确保稳定性。通过离散傅里叶变换的稳定性（冯诺依曼稳定性分析）和能量法等方法用于分析有限差分方案的稳定性。Dahlquist 零稳定性条件与多步方法相关。
有限元法采用变分方法。它首先以弱形式表述 PDE，然后寻求在定义域网格上分段多项式函数的有限维空间中近似解。
一般抽象变分逼近方案：涉及在有限维子空间 $V_h$ 中找到一个解 $u_h$，该解满足从原始 PDE 导出的变分方程。
一维有限元法：域被划分为单元（区间），解在每个单元内通过分段多项式（例如线性拉格朗日单元）进行逼近。
矩阵组装：弱形式导致线性方程组 $A u=b$，其中刚度矩阵 $A$ 和载荷向量 $b$ 通过对每个单元进行积分来组装。
收敛性和误差估计：随着网格的细化，有限元法解收敛到真实解。误差估计提供了近似解和精确解之间差异的界限。
诺依曼和傅里叶条件：这些边界条件可以通过边界积分自然地纳入问题的弱表述中。
有限体积法：基于守恒定律的积分形式，域被划分为控制体积，并且 PDE 在每个控制体积上进行积分。然后对控制体积界面处的通量进行逼近。
一维椭圆情况：通过逼近每个体积边界处的通量来离散椭圆方程的积分形式。
一维对流方程：有限体积法自然处理守恒特性。通过根据相邻单元中的值逼近通量，可以导出显式三点方案等方案。
不连续数据和非线性问题的推广：有限体积法非常适合处理不连续解（例如流体动力学中的激波）问题，并且可以通过适当逼近通量来适应非线性 PDE。
放大系数和放大矩阵用于稳定性分析，特别是傅里叶方法。放大矩阵的谱半径决定了方案的稳定性。
一般数值概念：时空网格是域在空间和时间上的基本离散化，数值方法在其上运行。