ナビエ–ストークス方程式は、車両や発電所の設計から環境流や生体システムの研究に至るまで、多くの分野で流体の運動を理解し予測するための包括的な枠組みを提供する点で極めて重要であり、同時に深い数学的課題も提示しています。

ナビエ–ストークス方程式は流体力学の基礎であり、流体（液体および気体）がどのように運動するかを数学的に記述し、流体流れにおける速度、圧力、温度、密度、粘度の関係を捉えます。これらはニュートン流体における質量、運動量、エネルギーの保存則を表しており、様々な現実世界の現象をモデル化するために不可欠です。

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一節を要約することは、ある分野の多面的な性質を把握するために不可欠です。

🎬動的な結果

$\gg$Solving and Visualizing Navier–Stokes Equations in the Cloud: 2D Steady Stokes Flow-9/12

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以下に、それらが何を表しているか、そしてなぜそれほど重要なのかを分解して説明します。

それらが記述するもの：

• 流体速度（u）： 空間と時間の任意の点における流体の速度と方向。これはしばしば解かれるべき主要な未知量です。
• 流体圧力（p）： 流体内の圧力。
• 流体密度（ρ）： 流体の単位体積あたりの質量。
• 流体粘度（μまたはν）： 流体の流れに対する抵抗（「粘り気」）の尺度。粘度は流体内の内部摩擦を説明します。
• 外力（f）： 重力など、流体に作用するあらゆる外力。

主要な構成要素と概念：

• 非線形性： ナビエ–ストークス方程式の重要な側面は、その非線形性です。これは、方程式内の項が未知変数（速度と速度勾配の積など）の積であることを意味します。この非線形性が、それらを解析的に解くことを非常に困難にし、乱流のような複雑な現象を引き起こします。
• 偏微分方程式（PDE）： これらは、空間と時間の両方に関する偏微分を含んでいるためPDEであり、流体特性が空間全体と時間とともにどのように変化するかを示します。
• 連続の式： 運動量方程式（ナビエ–ストークス方程式の核となる部分）と常に結合されており、連続の式は質量の保存を表し、流体流れにおいて質量が生成も破壊もされないことを述べます。
• 粘性流と非粘性流（オイラー方程式）： ナビエ–ストークス方程式は粘性の項を明示的に含んでおり、理想的な（非粘性、または摩擦のない）流体の流れを記述するより単純なオイラー方程式とは区別されます。

なぜそれらが重要なのか（応用）：

ナビエ–ストークス方程式は信じられないほど多用途であり、非常に広範な科学および工学分野で流体挙動をモデル化し予測するために使用されます。

• 空気力学： 航空機の翼の設計、車両（自動車、列車）周りの気流の理解、揚力と抗力の予測。
• 水力学： 船舶の設計、海流、波の動態、沿岸工学の解析。
• 気象学と海洋学： 気象パターンのモデリング、暴風雨の予測、海洋循環の理解。