向量的基底无关性与分量变换-3

尽管向量的数值分量在不同正交基之间切换时会发生变化，但向量本身（其物理方向和大小）保持不变。这种正交基之间的变换由一个旋转矩阵描述，其元素是旧基向量和新基向量的点积。这些变换系数确保了向量大小和标量积（向量之间的角度）等基本属性得以保留，突显了它们在物理学中作为不变量的作用。

向量是独立于所选择的基底来表示的，这意味着当我们改变坐标系或基底时，几何或物理向量本身不会改变。然而，该向量的分量会根据基底的变化而变化。这种向量分量在旋转下的变化由旋转矩阵控制。

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以下是清晰的解释：

向量 $x$ 是一个独立于基底的抽象几何对象。当在基底 $\left\{ e _i\right\}$ 中表示时，它对应于分量 $x_i$，即：

$$ x =\sum_i x_i e _i .. $$
如果我们将基底更改为 $\left\{ e _i^{\prime}\right\}$，它与旧基底通过旋转矩阵 $R$ 相关，则向量本身保持不变，但其分量转换为：

$$ x_i^{\prime}=\sum_j R_{i j} x_j, $$

其中 $R$ 是一个特殊的正交矩阵，表示旋转（基底变换）。
旋转矩阵 $R$ 表示一种保持长度和角度的正交变换，满足 $R^T=R^{-1}$。这意味着在旋转下，向量的大小以及与其他向量的点积保持不变。
这个过程有时被称为被动旋转，因为它对应于改变坐标系或基底，而不是向量本身。向量是相同的几何对象；只是用于描述它的坐标发生了变化。
对于泛化向量的张量，分量以类似的方式变换，但涉及多个旋转矩阵（每个索引一个）。对于秩为1的张量（向量），变换仅通过一个旋转矩阵；对于更高秩的张量，变换规则涉及对应于每个索引的旋转矩阵的乘积。

这一基本原则允许向量和张量在不同坐标系中得到一致处理，确保物理定律是独立于基底的，尽管它们的分量取决于所选的参考系。

本节演示了云计算中的旋转和基底变换，提供了2D基底旋转和向量变换的动画网络可视化，以及新基底下向量分量变化的数值分析。

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综合摘录对于掌握学科的多方面性质至关重要。

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