云计算中的几何方法：曲面变形的可视化与动画

着重强调微分方程底层的几何和代数结构，以进行更深入的分析和求解方法。开发结构保持的数值方法，以在计算中保持定性特征。统一符号和数值方法，实现有效的数学建模。利用几何解释（如双曲几何）求解经典微分方程。利用计算机代数进行符号分析并与数值方法集成。

计算中的几何微分方程侧重于几何、代数和数值方法之间的相互作用，以理解、求解和在计算设置中保留微分方程的结构。主要主题和贡献包括：

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微分方程的几何理论使用射流空间、嘉当分布和李变换从几何和代数角度分析偏微分方程（PDE）系统。这种方法提供了一个框架，通过使用斯宾塞上同调和微分算子代数等概念来理解偏微分方程的结构、兼容性和可积性。
这份宣言强调，微分方程不仅仅是解析对象，它们还具有丰富的几何结构，可以利用这些结构来更好地进行理论理解和计算方法。

计算微分方程的一个主要发展是关注结构保持离散化，也称为几何数值积分。这些方法旨在保留原始连续微分方程的关键几何和拓扑性质，例如辛结构、不变量或守恒定律，从而在长时间内实现定性和定量上更准确的模拟。
这种方法与可能不尊重底层几何的经典数值方法形成对比，后者可能导致数值伪影或重要定性特征的丢失。

计算微分方程越来越多地通过统一框架呈现，该框架结合了符号和数值方面，反映了微分方程作为无限维（连续）和有限维（离散）对象的双重性质。例如，伽辽金方法提供了一种系统的方法来离散化和数值求解微分方程，同时保持数学严谨性。
这份宣言倡导将数学建模和计算无缝融合，以有效地处理科学和工程中的复杂微分方程。

某些经典微分方程，例如 $u^{\prime \prime}(x)+h(x) u(x)=0$ 形式的二阶线性常微分方程，可以在几何上解释为双曲几何中的测地线方程。这种几何观点通过将微分方程与弯曲空间的几何联系起来，提供了新的见解和求解方法。
将这些思想扩展到复几何和洛伦兹几何进一步丰富了对微分方程的理解和潜在的计算技术。

计算机代数系统结合了几何和代数方法，以符号方式求解和分析微分方程。这包括对称分析、局部分析、微分理想和伽罗瓦理论，它们提供了理解微分方程解空间、可积性和变换的强大工具。
这里的宣言是，符号计算通过提供精确的结构性见解来补充数值方法，从而指导和改进计算方法。

几何微分方程在云计算中的应用促进了复杂数据的高级可视化和动画，特别是在分布式环境中将曲面形变为最小曲面和管理高斯曲率。