平板方程是通过一系列假设和数学公式，将三维弹性问题简化为二维平板弯曲问题的核心。它由一个四阶偏微分方程控制，该方程将挠度与施加的载荷联系起来，并通过边界条件和材料特性来定义解。经典的基尔霍夫-洛夫理论仍然是其基石，并有各种改进来解决其在厚板或复杂载荷下的局限性。

平板方程控制着固体力学中平板的弯曲和变形行为，其根源在于经典平板理论及其数学公式。主要观点如下：

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综合摘录对于掌握学科的多面性至关重要。

🎬动画结果

$\gg$Cloud-Based Plate Deflection Simulation: Animation and Modeling-8/12

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物理和几何假设

• 假设平板是弹性、均质和各向同性的。
• 平板最初是平坦的，挠度相对于平板厚度很小。
• 挠曲表面的斜率很小，允许应变-位移关系线性化。
• 应力沿厚度线性变化，横向法向应力为零（$\sigma_{zz} =0$）。
• 平板厚度相对于其其他尺寸很小，这使得将三维固体近似为二维是合理的。

控制方程

• 平板弯曲由一个四阶偏微分方程描述，该方程将平板挠度w与施加的横向载荷q联系起来。

• 经典的基尔霍夫-洛夫平板理论提供了基本控制方程：$\nabla^2 \nabla^2 w=\frac{q}{D}$

  其中$D$是平板的弯曲刚度，定义为 $D=\frac{E H^3}{12\left(1-\nu^2\right)}$

  其中$E$是杨氏模量，$ν$是泊松比，$H$是平板厚度。

• 力矩-曲率关系将弯矩$M_{\alpha \beta}$与曲率（挠度的二阶导数）联系起来，类似于梁弯曲理论，但扩展到二维。

边界条件

• 平板可以有各种边界条件，例如简支、固定或自由边缘。
• 例如，简支边缘具有零挠度和弯矩条件，而固定边缘具有零挠度和零斜率（旋转）。

应变-位移和应力关系

• 平板中的应变分量包括薄膜应变和弯曲应变，其中弯曲应变与到中平面的距离成比例。
• 基尔霍夫-洛夫理论假设中面法线在变形后保持直线和法线（无横向剪切变形）。
• 应力分量通过线性弹性本构关系与力矩和曲率相关联。