平板方程式とは、3次元の弾性問題を2次元の平板曲げ問題に還元するための仮定と数学的定式化であり、たわみと印加荷重を結びつける4階の偏微分方程式によって支配され、境界条件と材料特性が解を決定します。古典的なキルヒホッフ-ラブ理論は依然としてその基礎であり、厚い平板や複雑な荷重に対する制限に対処するための様々な改良が加えられています。

平板方程式は、固体力学における平板の曲げと変形挙動を支配し、古典的な平板理論とその数学的定式化に根ざしています。主なポイントは以下の通りです。

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一節を要約することは、ある分野の多面的な性質を把握するために不可欠です。

🎬動的な結果

$\gg$Cloud-Based Plate Deflection Simulation: Animation and Modeling-8/12

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物理的および幾何学的仮定

• 平板は弾性的、均質、等方的であると仮定されます。
• 平板は初期状態では平坦であり、たわみは平板の厚さに比べて小さいとされます。
• たわんだ表面の傾きは小さく、ひずみ-変位関係の線形化が可能です。
• 応力は厚さ方向に線形に変化し、横方向の垂直応力（$\sigma_{zz} =0$）はゼロです。
• 平板の厚さは他の寸法に比べて小さく、三次元固体の二次元近似が正当化されます。

支配方程式

• 平板の曲げは、平板のたわみ w と印加される横方向荷重 q を関連付ける4階偏微分方程式によって記述されます。

• 古典的なキルヒホッフ-ラブ平板理論は、基本的な支配方程式を提供します。

  $$ \nabla^2 \nabla^2 w=\frac{q}{D} $$

  ここで $D$ は平板の曲げ剛性であり、次のように定義されます。

  $$ D=\frac{E H^3}{12\left(1-\nu^2\right)} $$

  $E$ はヤング率、ν はポアソン比、 H は平板の厚さです。

• モーメント-曲率関係は、曲げモーメント $M_{\alpha \beta}$ を曲率（たわみの2階微分）に結びつけ、梁の曲げ理論に類似していますが、二次元に拡張されています。

境界条件

• 平板は、単純支持、固定、自由端など、様々な境界条件を持つことができます。
• 例えば、単純支持端はたわみと曲げモーメントがゼロの条件を持ち、固定端はたわみと傾き（回転）がゼロの条件を持ちます。

ひずみ-変位関係と応力関係

• 平板のひずみ成分には、膜ひずみと曲げひずみが含まれ、曲げひずみは中立面からの距離に比例します。
• キルヒホッフ-ラブ理論は、中立面に対する法線が変形後も直線かつ法線を維持すると仮定します（横せん断変形なし）。
• 応力成分は、線形弾性構成関係を通じてモーメントと曲率に関連付けられます。