纳维-斯托克斯方程至关重要，因为它们提供了一个全面的框架，用于理解和预测跨越多个学科的流体运动，从设计车辆和发电站到研究环境流和生物系统，同时也代表着一个深刻的数学挑战。

纳维-斯托克斯方程是流体力学中的基本方程，它们以数学方式描述了流体（液体和气体）的运动，捕捉了流体流动中速度、压力、温度、密度和粘度之间的关系。它们代表了牛顿流体的质量、动量和能量守恒定律，因此对于模拟各种真实世界现象至关重要。

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综合摘录对于掌握学科的多面性至关重要。

$\gg$Solving and Visualizing Navier–Stokes Equations in the Cloud: 2D Steady Stokes Flow-9/12

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以下是它们所代表的含义以及它们为何如此重要的细分：

它们描述了什么：

• 流体速度 (u)： 流体在给定空间和时间点的运动速度和方向。这通常是主要待解的未知量。
• 流体压力 (p)： 流体内部的压力。
• 流体密度 (ρ)： 流体的单位体积质量。
• 流体粘度 (μ 或 ν)： 流体流动阻力的量度（其“厚度”）。粘度解释了流体内部的摩擦力。
• 外力 (f)： 作用在流体上的任何外力，例如重力。

关键组成部分和概念：

• 非线性： 纳维-斯托克斯方程的一个关键方面是它们的非线性。这意味着方程中的项是未知变量的乘积（如速度乘以速度梯度）。正是这种非线性使得它们在分析上如此难以求解，并产生了湍流等复杂现象。
• 偏微分方程 (PDEs)： 它们是偏微分方程，因为它们涉及对空间和时间都有偏导数，表明流体属性如何跨空间和时间变化。
• 连续性方程： 总是与动量方程（核心纳维-斯托克斯方程）耦合，连续性方程表达了质量守恒，指出流体流动中质量既不产生也不消失。
• 粘度与无粘流（欧拉方程）： 纳维-斯托克斯方程明确包含了粘度项，这使它们区别于更简单的欧拉方程，后者描述了理想（无粘性，或无摩擦）流体的流动。

它们为何重要（应用）：

纳维-斯托克斯方程用途广泛，用于在众多科学和工程领域中建模和预测流体行为：

• 空气动力学： 设计飞机机翼，理解车辆（汽车、火车）周围的气流，以及预测升力和阻力。
• 水动力学： 分析船舶设计、洋流、波浪动力学和海岸工程。
• 气象学和海洋学： 模拟天气模式，预测风暴，以及理解海洋环流。