克罗内克 Delta 符号和置换符号是向量代数和几何解释中不可或缺的工具。Delta 符号用于捕捉正交性和选择性；置换符号编码方向和反对称性，从而能够紧凑而有力地表示所有坐标系中的向量恒等式和运算。
<aside> 🥅
</aside>
克罗内克 Delta $\delta_{i j}$ 定义如下：
$$ \delta_{i j}= \begin{cases}1 & \text { if } i=j \\ 0 & \text { if } i \neq j\end{cases} $$
在向量代数和几何中的应用
基底正交性：正交规范基向量的内积可以写成 $e_i*e_j=\delta{i j}$，这概括了不同基向量正交且单位向量长度为1的概念。
分量选择与求和：Delta 符号在求和中充当选择器。对于向量 a 和 b，我们有：
$$ a \cdot b =\sum_{i, j} a_i \delta_{i j} b_j=\sum_i a_i b_i $$
这展示了其在简化索引求和中的应用。
张量表示法：在方程中，克罗内克 Delta 符号扮演了恒等张量的角色，允许在高阶张量中进行索引替换操作和缩并。
置换符号（Levi-Civita 符号），在三维空间中通常表示为 $\varepsilon_{i j k}$，定义如下：
$$ \varepsilon_{i j k}= \begin{cases}+1 & \text { if }(i, j, k) \text { is an even permutation of }(1,2,3) \\ -1 & \text { if }(i, j, k) \text { is an odd permutation of }(1,2,3) \\ 0 & \text { if any two indices are equal }\end{cases} $$
关键应用
叉积：叉积可以用置换符号表示：
$$ [ a \times b ]i=\varepsilon{i j k} a_j b_k $$
这捕捉了其反对称特性。
行列式与方向：置换符号自然出现在行列式表达式中，并编码坐标系的几何方向和手性。
张量微积分恒等式：置换符号允许紧凑地表示向量和张量恒等式，例如表示三重标量积或在叉积和矩阵行列式之间进行转换。