Pennes生物热方程是生物组织热建模的基石，描述了活体组织内温度如何变化。它通过纳入血液灌注和代谢热产生的效应，扩展了标准的热扩散方程。该方程考虑了组织特性，如密度、比热容和热导率，以及血液灌注率、动脉温度和代谢率。

弱形式

为了应用有限元方法，我们首先通过将方程两边乘以一个测试函数 v 并在域 Ω 上积分，导出方程的弱形式：

$$ \int_{\Omega} \rho_t c_t \frac{\partial \theta}{\partial t} v d \Omega=\int_{\Omega} \nabla \cdot(K \nabla \theta) v d \Omega+\int_{\Omega} \rho_b c_b \omega_b\left(\theta_a-\theta\right) v d \Omega+\int_{\Omega} M_A v d \Omega $$

将散度定理应用于传导项：

$$ \int_{\Omega} \nabla \cdot(K \nabla \theta) v d \Omega=-\int_{\Omega} K \nabla \theta \cdot \nabla v d \Omega+\int_{\Gamma} K \nabla \theta \cdot n v d \Gamma $$

其中 $\Gamma$ 表示域边界， $n$ 是外法线。重写后，我们得到弱形式：

$$ \int_{\Omega} \rho_t c_t \frac{\partial \theta}{\partial t} v d \Omega+\int_{\Omega} K \nabla \theta \cdot \nabla v d \Omega+\int_{\Omega} \rho_b c_b \omega_b \theta v d \Omega=\int_{\Omega} \rho_b c_b \omega_b \theta_a v d \Omega+\int_{\Omega} M_A v d \Omega+\int_{\Gamma} q v d \Gamma $$

其中 $q=K \nabla \theta \cdot n$ 是边界上的热通量。

有限元离散化

我们使用基函数 $\theta(x, t)$ 近似温度场 $\phi_i(x)$：

$$ \theta(x, t) \approx \sum_{i=1}^N \theta_i(t) \phi_i(x) $$

类似地，我们从同一空间中选择测试函数 $v$：

$$ v=\phi_j $$

将这些近似值代入弱形式，得到离散的有限元公式：

$$ M \frac{d \theta }{d t}+ K \theta + W \theta = F $$

其中：