第一部分：如果G的每个连通分量都形成一个环，那么G是所有顶点度数为2的正则图。

• 假设： G的每个连通分量都形成一个环。
• 环： 环是一个图中每个顶点恰好有两个邻居的图。因此，在一个环中，每个顶点的度数为2。
• 连通分量： 连通分量是图的不相连的部分。如果每个连通分量都是一个环，那么每个连通分量中的每个顶点都必须具有度数2。
• 正则性： 如果所有顶点都具有相同的度数，则图是正则的。由于G中的每个顶点都具有度数2，因此G是所有顶点度数为2的正则图。

第二部分：如果G是所有顶点度数为2的正则图，那么G的每个连通分量都形成一个环。

• 假设： G是所有顶点度数为2的正则图。
• 连通分量： 考虑G的任何连通分量C。由于G是度数为2的正则图，因此C中的每个顶点都具有度数2。
• 路径和环：
  • 从C中的任何顶点v开始。由于v的度数为2，因此它有两个邻居。
  • 从v到其一个邻居跟随一条路径。继续跟随这条路径，访问新的顶点。
  • 由于连通分量是有限的，并且每个顶点都具有度数2，因此您最终会重新访问一个已经遇到的顶点。
  • 这意味着您找到了一个环。
• 连通分量作为一个环：
  • 现在，我们需要证明这个环是整个连通分量C。
  • 假设C中有一个不在环中的顶点w。由于w与环在同一连通分量中，因此必须存在从w到环中顶点的路径。
  • 但是，环中的每个顶点都具有度数2，这意味着连接到这些顶点的所有边都已用于形成环。
  • 由于图中的每个节点都具有度数2，因此不在环中的顶点不可能连接到环中的顶点。
  • 因此，环外不能有任何顶点，并且连通分量C必须是环本身。
• 结论： 由于这对G的任何连通分量都成立，因此G的每个连通分量都形成一个环。

因此，图G是所有顶点度数为2的正则图，当且仅当G的每个连通分量都形成一个环。

🧠用Python证明它

https://gist.github.com/viadean/ff3c4e67d64c1b57bacc3fd84ea64401

Output

Graph is 2-regular: True
Every component is a cycle: True
Graph H is 2-regular: True
Every component in H is a cycle: True
Graph J is 2-regular: False
Every component in J is a cycle: False