白化变换或球面变换是一种线性变换，它将具有已知协方差矩阵的随机变量向量转换为一组协方差为单位矩阵的新变量，这意味着它们不相关且每个变量的方差为 1。这种变换被称为“白化”，因为它将输入向量更改为白噪声向量。
其他几个转变与白化密切相关：
假设 $X$ 是一个随机（列）向量，具有非奇异协方差矩阵 $\Sigma$ 和平均值 0 。然后，使用满足条件 $W^{ T } W=\Sigma^{-1}$ 的白化矩阵 $W$ 进行变换 $Y=W X$，生成具有单位对角协方差的白化随机向量 $Y$。
有无限多个可能的白化矩阵W都满足上述条件。常用的选择是$W=\Sigma^{-1 / 2}$（零相位分量分析白化），$W=L^T$，其中$L$是$\Sigma^{-1}$的Cholesky分解（ Cholesky 白化），或 $\Sigma$ 的特征系统（主成分分析白化）。
可以通过研究 $X$ 和 $Y$ 的互协方差和互相关来选出最佳白化变换。 例如，在原始 X 和白化后的 Y 之间实现最大分量相关性的唯一最优白化变换是由白化矩阵 $W=P^{-1 / 2} V^{-1 / 2}$，其中 P 是相关矩阵，V 是方差矩阵。
$$ x_{\text {variance }}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-x_{\text {mean }}\right)^2}{n} $$
$$ x_{\text {covariance }}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-x_{\text {mean }}\right)\left(y_i-y_{\text {mean }}\right)}{n} $$
$$ x_{\text {variance }}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-x_{\text {mean }}\right)^2}{n-1} $$
$$ x_{\text {covariance }}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-x_{\text {mean }}\right)\left(y_i-y_{\text {mean }}\right)}{n-1} $$
其中，