多变量向量值函数的雅可比矩阵推广了多变量标量值函数的梯度，而这又推广了单变量标量值函数的导数。换句话说，多变量标量值函数的雅可比矩阵是其梯度（的转置），而单变量标量值函数的梯度是其导数。

在函数可微的每个点，其雅可比矩阵也可以被认为是描述函数在该点附近局部施加的“拉伸”、“旋转”或“变换”量。例如，如果使用 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)= f (x, y)$ 平滑变换图像，则雅可比矩阵 $J _{ f }( x, y)$，描述了$(x, y)$邻域中的图像如何变换。如果函数在某点可微，其微分在坐标系中由雅可比矩阵给出。然而，函数不需要可微才能定义其雅可比矩阵，因为只需要存在其一阶偏导数。

考虑以下向量函数，该函数将 $n$ 维向量 $x \in R ^n$ 作为输入，并将该向量映射到 m 维向量：

$$ f ( x )=\left[\begin{array}{c} f_1\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ f_2\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ \vdots \\ f_m\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \end{array}\right] $$

其中向量 $x$ 定义为

$$ x =\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] $$

非线性向量函数 $f$ 产生 $m$ 维向量

$$ \left[\begin{array}{c} f_1\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ f_2\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ \vdots \\ f_m\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \end{array}\right] $$

其条目是 $m$ 函数 $f_i, i=1,2, \ldots, n$，将向量 $x$ 的条目映射为标量数。

函数 $f (\cdot)$ 的雅可比矩阵是 $m × n$ 维偏导数矩阵，定义为

$$ \frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array}\right] $$

该矩阵的第一行由 $f_1(\cdot)$ 分别相对于 $x_1、x_2、\ldots、x_n$ 的偏导数组成。类似地，该矩阵的第二行由 $f_2(\cdot)$ 分别相对于 $x_1、x_2、\ldots、x_n$ 的偏导数组成。以同样的方式，我们构造雅可比矩阵的其他行。

在这里，我们展示了用于符号计算雅可比矩阵和创建 Python 函数的 Python 脚本，该函数将返回给定输入向量 x 的雅可比矩阵的数值。为了验证 Python 实现，让我们考虑以下测试用例函数

$$ f =\left[\begin{array}{c} x_1 x_2 \\ \sin \left(x_1\right) \\ \cos \left(x_3\right) \\ x_3 e^{x_4} \end{array}\right] $$

其中 $x$ 是

$$ x =\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] $$

且

$$ \begin{aligned} & f_1\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_1 x_2 \\ & f_2\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\sin \left(x_1\right) \\ & f_3\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\cos \left(x_3\right) \\ & f_4\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_3 e^{x_4} \end{aligned} $$

该函数的雅可比行列式是

$$ \frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{llll} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} & \frac{\partial f_1}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} & \frac{\partial f_2}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3} & \frac{\partial f_3}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_4}{\partial x_1} & \frac{\partial f_4}{\partial x_2} & \frac{\partial f_4}{\partial x_3} & \frac{\partial f_4}{\partial x_4} \end{array}\right] $$