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🎯要点

🎯物理数学方程分析：🖊二分算法和牛顿-拉夫森算法解方程根 | 🖊最小二乘法拟合方程和数据 | 🖊短期傅里叶变换和小波分析非平稳信号 | 🖊使用主成分分析复杂和大型数据集，提取时空相关性，分形维数测定

🎯非线性震动常微分方程：🖊四阶龙格-库塔法求解和绘制受迫振荡器常微分方程 | 🖊符号计算谐振子解 | 🖊计算方形台球内的轨迹并生成动画结果 | 🖊二阶Verlet积分算法求解射弹的轨迹 | 🖊求解天王星和海王星的轨道及其相互作用

pie title 语言分比
 "Python":90
 "C++":40

pie title 内容分比
 "物理、数学":90
 "算法":40
 "常微分方程、偏微分方程":80
 "波形":40
 "流体力学":50
 "电磁":56
 "量子力学":40

✂️梗概

Python符号和数值计算球谐函数示例

球谐函数是数学和物理学中用来描述各种现象的强大工具。它们可用于模拟物理现象，例如声波、传热，甚至量子系统，并且每当您在球坐标中处理偏微分方程时，它们就会出现。在此，我们将探讨什么是球谐函数、它们最重要的属性、它们的工作原理以及它们为何如此有用。最后，我们将了解如何在 Python 中以数字和符号方式使用它们。我们将为这些函数创建我们自己的可视化，以便您可以自己使用它们。

球谐函数是根据球体上的角坐标（纬度和经度）定义的，并且具有以下属性：它们是拉普拉斯算子的角部分的本征函数。在球坐标中，拉普拉斯算子应用于函数 𝑓 时为

$$ \nabla^2 f=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}(r f)+\underbrace{\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}}_{L^2 f} $$

其中$\theta$是极角，$\varphi$是方位角。所以拉普拉斯自然地分裂成径向部分和角度部分$\left(L^2\right)$。球谐函数是拉普拉斯算子的角部分的本征函数。这意味着当拉普拉斯算子的角度部分应用于球谐函数时，结果是原始函数的标量倍数：

$$ L^2 Y_{l m}(\theta, \varphi)=-l(l+1) Y_{l m}(\theta, \varphi) $$

其中$L^2$是拉普拉斯算子的角度部分，$Y_{l m}(\theta, \varphi)$是1次、m阶的球谐函数，$-l(l+1)$ 是函数的特征值。

球谐函数的正交性表明，如果两个球谐函数的次数和阶次不相等，则两个球谐函数的乘积在球表面上的积分等于零。这与正弦和余弦也具有相同的性质。形式上，球谐函数的正交性可以表示为：

$$ \int_{\theta=0}^\pi \int_{\varphi=0}^{2 \pi} Y_{l m} Y_{l^{\prime} m^{\prime}}^* d \Omega=\delta_{l l^{\prime}} \delta_{m m^{\prime}} $$

其中 $\delta_{m n}$ 是克罗内克增量，如果 $m=n$ 则为 1，否则为 0，$d \Omega=\sin \theta d \theta d \varphi$ 是积分的积分度量球体的表面。请注意，许多球谐函数都是复数，这就是公式中存在共轭星形的原因。