牛顿运动方程可以写成以下形式
$$ \mathbf{F}=\frac{d \mathbf{p}}{d t}=m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=m \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} $$
具有恒定力的问题意味着恒定的加速度。 典型的例子是一个在倾斜平面上滑动的块，其中质量为 $m$的块同时受到重力和摩擦力的作用。 合力 F 由重力$F_g$ 、法向力 $N$ 和摩擦力 $f_f$ 的矢量和给出
$$ \mathbf{F}=\mathbf{F}_g+\mathbf{N}+\mathbf{f}_f=m \mathbf{a} $$
一类重要的问题是线性恢复力，服从胡克定律。这种情况下的运动方程是
$$ F(x)=-k x=m \ddot{x} $$
让我们从一个简单的物理学原型微分方程开始：谐振子。 这个方程式出现在物理学的所有领域，不同的背景下：不仅是力学，还有电动力学、量子力学、固态物理学等等。 谐振子的牛顿运动方程为
$$ \ddot{x}+\omega^2 x=0 $$
到目前为止，我们的谐振子是自由的，没有感觉到任何摩擦。我们将在常微分方程中添加一个与速度成正比的摩擦项：
$$ \ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega^2 x=0 $$
当我们在常微分方程的右侧添加一项时，这对应于添加一个驱动力。具体来说，添加正弦力：
$$ \ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega^2 x=F_0 \sin \omega_0 t $$