完美透镜具有抛物线形状，因此它会对入射波施加二次相位，并且尺寸无限大。这种透镜将输入平面波聚焦到焦点处的单个点，或者在满足成像条件时，它可以将点物体成像为一个点：
$$ \frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f} $$
其中u是镜头与物体之间的距离，v是镜头与图像之间的距离，f是镜头的焦距。根据几何光学，点源将产生点图像。然而，即使使用完美的镜头，点源也不会产生点像，而是会产生模糊盘。这个模糊盘称为点扩展函数，它表示成像系统的空间分辨率。这是由于有限的镜头光圈导致一些光束离开点源并错过镜头。因此，图像的分辨率是镜头或成像系统光圈大小的函数。如果镜头是完美的，没有任何像差，则点源的图像大小，即PSF，为：
$$ PSF=\frac{4 \lambda \nu}{\pi D} $$
其中$D$是镜头光圈，v是到图像的距离，$\lambda$是波长。显然，当我们增加镜头尺寸时，PSF 更小，这意味着分辨率更高。此外，靠近镜头并减少 v 可以提高分辨率。然而，即使透镜无限大并且来自点光源的所有光都进入透镜，由于光的波动方面，图像也不能小于波长的一半。这也可以在波长相关函数中看到。减小波长将减小 PSF 并提高分辨率。然而，为了观察这些效应，我们必须离开几何光学并考虑波动光学。
最常见的像差类型是散焦。在散焦中，图像会失焦，因为探测器没有精确地位于图像平面上。在这种情况下，点物体会产生更大的模糊盘，也就是说，我们有更大的点扩展函数，这会导致图像分辨率降低。PSF 的大小与与图像平面的距离 z 的关系为：
$$ \operatorname{PSF}(z)=\operatorname{PSF}(0) \sqrt{1+\left(\frac{z \lambda}{\pi P S F(0)^2}\right)^2} $$
这里，当z小时，PSF的大小缓慢增加，但当z大时，PSF的大小随z线性增加。因此，即使稍微失焦，PSF 也不会受到影响。这个范围称为瑞利范围，它决定了我们系统的焦深。如果焦深很大，我们就不需要那么精确，不同距离的不同物体仍然可以对焦。然而，当焦深较小时，只有一个物体会被聚焦，从而导致物体清晰而背景模糊的美丽图像。焦深 b 的计算公式为：
$$ b=\frac{\pi P S F(0)^2}{2 \lambda} $$
因此，较小的光斑会导致较小的焦深。因此，当光圈较大时，我们可以获得较高的分辨率和较低的焦深。
第二种像差是探测器没有根据图像平面定向。这会导致 PSF 成为平面位置的函数。图像中心的分辨率可能很高，而沿着特定轴的分辨率会较低。如果倾斜足够大，PSF 将变成不对称椭圆。我们可以根据泽尼克多项式定义倾斜：
$$ \begin{aligned} & T_x=A_x \cos (\alpha) \\ & T_y=A_y \sin (\alpha) \end{aligned} $$
因此，这种类型的像差也很容易通过沿着图像平面正确定位探测器来解决。
任何玻璃都有一定的色散，色散取决于波长。因此，折射率是波长的函数，因此透镜焦距也是波长的函数。通常，折射率与波长的关系为$10^{-4}$，当我们使用宽带光成像或焦距较短且镜头较厚时，它开始影响成像，因此折射率的影响分散度高。为了克服望远镜中的色差，我们可以用镜子代替镜头。镜子将所有波长反射到同一方向，因此没有色差。此外，可以将两个镜头组合在一起，每个镜头由不同类型的玻璃制成，在所需的带宽下具有相反的色差，这样它们的色差就会相互抵消。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy import signal
import math
定义用于拟合垂直切片的模型函数
def gauss(x, *p):
A, mu, sigma = p
return A*np.exp(-(x-mu)**2/(2.*sigma**2))
假设一个简单的线性校准定律
def compute_fwhm_data(filename,
ref_wavelength_1_x,
ref_wavelength_2_x,
ref_wavelength_1=3948,
ref_wavelength_2=7032,
wavelength1=4000,
wavelength2=7000,
bin_size=50):
rate = (ref_wavelength_2 - ref_wavelength_1) / (ref_wavelength_2_x - ref_wavelength_1_x)
offset = 3948 - 527 * rate
x1 = math.floor((wavelength1 - offset) / rate)
x2 = math.ceil((wavelength2 - offset) / rate)
image = fits.open(filename)
imageData = image[0].data
cleanImageData = signal.medfilt2d(imageData, kernel_size=3)
sliceData = cleanImageData[:, x1:x2]
width = len(sliceData[0])
height = len(sliceData)
fwhmData = [0] * width
for columnIndex in np.arange(width):
columnValues = sliceData[:, columnIndex]
maxIndex = np.argmax(columnValues)
background = np.concatenate((columnValues[ : maxIndex-bin_size], columnValues[maxIndex + bin_size : ]))
backgroundValue = np.mean(background, axis=0)
columnValues = np.subtract(columnValues, backgroundValue)
maxValue = columnValues[maxIndex]
spectrum = columnValues[maxIndex - bin_size : maxIndex + bin_size]
maxIndex = np.argmax(spectrum)
xdata = np.arange(len(spectrum))
p0 = [maxValue, maxIndex, 3]
coeff, var_matrix = curve_fit(gauss, xdata, spectrum, p0=p0)
A, mu, sigma = coeff
fwhmData[columnIndex] = 2 * sigma
fwhmData_smooth = signal.savgol_filter(fwhmData, 80, 3)
min = np.min(fwhmData_smooth)
normalized = fwhmData_smooth / min
return normalized