表面生长模型用于描述材料或自然界中界面生长的动态过程，如晶体生长或沉积薄膜。该模型考虑了颗粒在表面上的随机附着、扩散和结合等机制。典型模型包括族藤模型（KPZ）和伊辛模型，这些模型用来模拟从简单到复杂的生长现象。KPZ模型尤其着重于非平衡态下的非线性生长行为，揭示了复杂的自组织特性和标度行为。通过计算机模拟和理论分析，科学家能够更深入理解自然界和工业中的界面生长现象。

Stochastic partial differential equations in surface growth models | ViaDean

参考文献

🌵Python片段

卡达尔-帕里西-张（KPZ）模型是一种用于描述非平衡生长现象的随机微分方程模型，特别用于理解表面生长及类似物理过程中的随机扰动和非线性效应。KPZ方程的一般形式如下：

$$ \frac{\partial h(x, t)}{\partial t} = \nu \nabla^2 h(x, t) + \frac{\lambda}{2} (\nabla h(x, t))^2 + \eta(x, t) $$

其中：

处理 KPZ 模型时，Python 可以用于数值模拟和分析，例如通过蒙特卡罗方法、有限差分法或随机步进算法实现近似解。以下是一些实现 KPZ 模型的典型方法和步骤：

方法和步骤

  1. 离散化模型：将空间和时间离散化，例如使用网格 ( $x = i \Delta x$ ) 和时间步长 ( $t = n \Delta t$ )，以方便数值计算。
  2. 更新规则：在离散情况下，可以使用一些简单的数值方法，例如欧拉法，来更新系统的状态。
  3. 随机噪声：在每个时间步长中，加入随机噪声来模拟白噪声的影响。

Python 实现思路

以下是一个简单的 KPZ 模型 Python 实现示例：

 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 ​
 # 设置参数
 L = 100  # 栅格大小
 T = 500  # 时间步数
 nu = 1.0  # 扩散系数
 lambda_ = 1.0  # 非线性系数
 D = 0.1  # 噪声强度
 delta_t = 0.01  # 时间步长
 ​
 # 初始化高度
 h = np.zeros(L)
 ​
 # 时间演化
 for t in range(T):
     # 计算梯度项和噪声项
     grad = np.roll(h, -1) - h  # 计算前向差分
     non_linear_term = (lambda_ / 2) * grad**2
     noise = np.sqrt(D * delta_t) * np.random.randn(L)
 ​
     # 更新高度
     h = h + nu * (np.roll(h, -1) - 2 * h + np.roll(h, 1)) + non_linear_term + noise
 ​
     # 可视化或数据记录（例如每隔一定步长进行绘图）
     if t % 50 == 0:
         plt.plot(h, label=f't={t*delta_t:.2f}')
 ​
 # 绘图
 plt.title('KPZ Model Simulation')
 plt.xlabel('Position')
 plt.ylabel('Height')
 plt.legend()
 plt.show()

解释