Python和MatLab模拟粒子动力系统

力计算

我们将假设一个由 N 个点粒子组成的系统，索引为 $i=1, \ldots, N$。每个粒子都有一个：

质量
位置 $r_{\boldsymbol{i}}=\left[x_i, y_i, z_i\right]$
速度 $\mathbf{v}_{\boldsymbol{i}}=\left[\mathrm{vx}_i, \mathrm{v} y_i, \mathrm{v} z_i\right]$

根据牛顿万有引力定律（著名的“平方反比定律”），每个粒子都会感受到所有其他粒子的引力。也就是说，每个粒子都会感受到加速度：

$$ \mathbf{a}i=G \sum{j \neq i} m_j \frac{\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i}{\left|\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i\right|^3} $$

位置和速度使用蛙跳方案进行更新。对于每个时间步 Δt，每个粒子都会受到半步“跳”：

$$ \mathbf{v}_i=\mathbf{v}_i+\frac{\Delta t}{2} \times \mathbf{a}_i $$

上述代码的性能在Python中实际上可以通过向量化来提高。也就是说，用向量和矩阵运算来表述问题。它通常可以带来 100 倍的加速，还使代码更具可读性。缺点是在矩阵内存储中间计算会占用大量内存。这是计算所有粒子加速度的函数的矢量化版本：

我们的代码计算这些量并跟踪总能量，以确保通过数值方法近似守恒。