在数学中，哈尔小波是一系列重新缩放的“方形”函数，它们共同构成小波族或基。小波分析类似于傅立叶分析，因为它允许用正交基来表示间隔内的目标函数。哈尔序列现在被认为是第一个已知的小波基，并被广泛用作教学示例。哈尔小波也是最简单的小波。哈尔小波的技术缺点是它不连续，因此不可微分。然而，这一特性对于分析具有突然转变的信号（离散信号）来说却是一个优势，例如监控机器中的工具故障。
哈尔小波的母小波函数$\psi(t)$可以描述为
$$ \psi(t)= \begin{cases}1 & 0 \leq t<\frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} \leq t<1 \\ 0 & \text { 否则 }\end{cases} $$
其尺度函数$\varphi(t)$可描述为
$$ \varphi(t)= \begin{cases}1 & 0 \leq t<1 \\ 0 & \text { 否则 }\end{cases} $$
与哈尔小波相关的 2×2 哈尔矩阵为
$$ H_2=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] $$
使用离散小波变换，可以将任意长度的偶数序列 $\left(a_0, a_1, \ldots, a_{2 n}, a_{2 n+1}\right)$ 变换为二元序列 -向量 $\left(\left(a_0, a_1\right),\left(a_2, a_3\right), \ldots,\left(a_{2 n}, a_{2 n+1}\right)\right)$ 。如果将每个向量与矩阵 $H_2$ 右乘，则得到结果 $\left(\left(s_0, d_0\right), \ldots,\left(s_n, d_n\right)\right)$ 为快速哈尔小波变换的阶段。通常，我们将序列 s 和 d 分开，然后继续转换序列 s。序列 s 通常被称为平均值部分，而 d 被称为细节部分。
如果一个序列的长度是四的倍数，则可以构建 4 个元素的块，并使用 4×4 哈尔矩阵以类似的方式对其进行变换
$$ H_4=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] $$
它结合了快速哈尔小波变换的两个阶段。
一般来说，2N×2N 哈尔矩阵可以通过以下等式导出。
$$ H_{2 N}=\left[\begin{array}{c} H_N \otimes[1,1] \\ I_N \otimes[1,-1] \end{array}\right] $$
其中 $I_N=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right]$ 和 $\otimes$ 是克罗内克积。
哈尔小波的特点是简单和二元阶跃函数。其结构有利于图像和信号处理、数值分析，甚至数据压缩领域。其主要优势在于能够提供有关特定函数或数据集的局部频率信息。我们将使用 TensorFlow演示一维离散哈尔小波变换。
pip install numpy
pip install tensorflow
def haar1d_layer(x):
outputs = []
len = x.shape[1]
while len > 1:
v_reshape = tf.reshape(x, [-1, len//2, 2])
v_diff = v_reshape[:,:,1:2] - v_reshape[:,:,0:1]
v_diff = tf.reshape(v_diff, [-1, len//2])
outputs.append(v_diff)
x = tf.reduce_mean(v_reshape, axis=2)
len = len // 2
outputs.append(x)
return tf.concat(outputs, 1)
def haar1d_inv_layer(x):
idx = 1
len = x.shape[1]
while idx < len:
v_avg = x[:, -idx:]
v_avg = tf.reshape(v_avg, [-1, idx, 1])
v_delta = x[:, (len - (idx << 1)):(len - idx)] / 2
v_delta = tf.stack([-v_delta, v_delta], axis=2)
v_out = v_avg + v_delta
v_out = tf.reshape(v_out, [-1, idx*2])
x = tf.concat([x[:, :-(idx << 1)], v_out], axis=1)
idx = idx << 1
return x
haar1d_layer() 函数对输入向量中的元素对进行迭代，计算每对元素的平均值和差异，并将它们写入 output_vector。haar1d_inv_layer() 函数执行相反的操作，从 input_vector 中获取平均值和差异对，并计算原始值，然后将它们写入 output_vector。函数 stack() 用于将 TensorArray 转换为 Tensor。
使用上述函数