柯布-道格拉斯效用函数

柯布-道格拉斯生产函数在引入数据时具有吸引人的统计特性。 该函数如下所示。

$$ Y=z K^\alpha L^{1-\alpha} $$

该函数的参数化为：

• 参数 $\alpha \in[0,1]$ 称为“资本的产出弹性”。
• $z$ 称为全要素生产率的值

现在，我们定义一个函数，该函数计算参数为 z=1 和 \alpha=0.33 的柯布-道格拉斯生产函数的输出，并接受输入 K 和 L。

def cobb_douglas(K, L):

    # Create alpha and z
    z = 1
    alpha = 0.33

    return z * K**alpha * L**(1 - alpha)

我们可以像使用均值函数一样使用这个函数。

cobb_douglas(1.0, 0.5)

输出

0.6285066872609142

经济学家经常对这个问题感兴趣：如果我们修改投入，产出会发生多大变化？例如，采用生产函数 $Y_1=F\left(K_1, L_1\right)$，它生产 $Y_1$ 单位的货物。如果我们将输入分别乘以 $\gamma$，则 $K_2=\gamma K_1$ 和 $L_2=\gamma L_1$，则输出为

$$ Y_2=F\left(K_2, L_2\right)=F\left(\gamma K_1, \gamma L_1\right) $$

$Y_1$ 与 $Y_2$ 相比如何？

如果对于任意 $K, L$，我们将 $K, L$ 乘以一个值 $\gamma$ 则

• 如果 $\frac{Y_2}{Y_1}<\gamma$ 则我们说生产函数的规模收益递减。
• 如果 $\frac{Y_2}{Y_1}=\gamma$ 则我们说生产函数具有规模报酬不变。
• 如果  $\frac{Y_2}{Y_1}>\gamma$  则我们说生产函数具有规模报酬递增。

让我们尝试一下，看看我们的函数结果是什么！