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贝叶斯推理是一种找出变量分布的方法（例如高度 h 的分布）。贝叶斯推理的有趣特征是，统计学家（或数据科学家）可以利用他们的先验知识作为改进我们对分布情况的猜测的手段。贝叶斯推理依赖于贝叶斯统计的主要公式：贝叶斯定理。贝叶斯定理接受我们对分布的假设，即新的数据，并输出更新后的分布。对于数据科学，贝叶斯定理通常表示如下：
$$ P(\theta \mid \text { Data })=\frac{P(\text { Data } \mid \theta) * P(\theta)}{P(\text { Data })} $$
我们可以从贝叶斯定理中看出，先验是一个概率：$P(θ)$。首先，让我们深入研究一下“θ”的含义。θ 通常表示为我们对最能描述我们试图研究的变量的模型的假设。让我们回到身高的例子。根据背景知识和常识，我们推断出身高在一个班级中呈正态分布。正式来说：
$$ h \sim N (\mu, \sigma) $$
其中N表示正态分布，$\mu$ 表示平均值，$\sigma$表示标准差。
现在，我们的先验并不完全是上面的表达式。相反，它是我们对每个参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 如何分布的假设。请注意，这就是贝叶斯统计的定义特征的体现：我们如何找到这些参数的分布？有趣的是，我们根据先验知识“编造”它们。如果我们的先验知识很少，我们可以选择一个非常无信息的先验，以免使过程产生偏差。例如，我们可以定义平均高度 $\mu$ 介于 1.65 m 和 1.8 m 之间。如果我们想要一个无信息的先验，我们可以说 $\mu$ 沿着该区间均匀分布。相反，如果我们认为平均高度在某种程度上偏向于更接近 1.65 m 而不是 1.8 m 的值，我们可以定义 $\mu$ 服从 beta 分布，由“超”参数 $\alpha$ 定义和$\beta$。我们可以看看下面这些选项：
import scipy.stats as sts
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mu = np.linspace(1.65, 1.8, num = 50)
test = np.linspace(0, 2)
uniform_dist = sts.uniform.pdf(mu) + 1
uniform_dist = uniform_dist/uniform_dist.sum()
beta_dist = sts.beta.pdf(mu, 2, 5, loc = 1.65, scale = 0.2)
beta_dist = beta_dist/beta_dist.sum()
plt.plot(mu, beta_dist, label = 'Beta Dist')
plt.plot(mu, uniform_dist, label = 'Uniform Dist')
plt.xlabel("Value of $\\mu$ in meters")
plt.ylabel("Probability density")
plt.legend()
请注意 y 轴如何为我们提供“概率密度”，即我们认为真正的 $\mu$ 是 $x$ 轴上的概率密度。另外，请注意，β 分布和均匀分布会导致我们对 \mu 的值可能得出的不同结论。如果我们选择均匀分布，我们就表示我们不倾向于判断 $\mu$ 是否接近我们范围内的任何值，我们只是认为它位于其中的某个位置。如果我们选择 $beta$ 分布，我们相当确定 $\mu$ 的“真实”值介于 1.68 m 和 1.72 m 之间，如蓝线峰值所示。
请注意，我们正在讨论 $\mu$ 的先验，但我们的模型实际上有两个参数：$N (\mu, \sigma)$。一般来说，我们也可以定义 $\sigma$ 上的先验。然而，如果我们对 $\sigma$ 的猜测感到幸运，或者如果我们想为了示例而简化过程，我们可以将 $\sigma$ 设置为固定值，例如 0.1 m。
似然表示为 $P ( Data \mid \theta)$。在这种情况下，“数据”将是高度的观测值。假设我们要测量一名随机挑选的学生，他们的身高为1.7 m 。考虑到有了这个数据，我们现在可以了解 $\theta$ 的每个选项有多好。我们通过以下问题来做到这一点：如果 $\theta$ 的一个特定选项（称为 $\theta 1$）是真实的，那么我们观察到 1.7 m 高度的“可能性”有多大？ $\theta 2$ 怎么样：如果 $\theta 2$ 是“正确”模型，观察到 1.7 m 高度的可能性有多大？