关于 r-兰伯特函数的理论或多或少是众所周知的。目前主要缺失的性质是渐近行为。
经典的兰伯特函数满足著名的渐近展开式：
$$ W_k(z)=\log k z-\log \log k z+\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{m!}\binom{n+m}{n+1} \frac{\left(\log _{\left.\log _k z\right)^m}^{\log _k^{n+m} z} . . . ~\right.}{\text { n }} \qquad(1) $$
r-兰伯特函数（满足 $W_r e^{a W_r}=z$）通过在 $r$ 中引入额外的扰动来修改此式。
为了确定大 $z$ 的渐近展开式，我们按如下步骤进行：
$$ W_r(z)=W(z)+\sum_{k=1}^{\infty} c_k r^k $$
前导项仍然是经典的渐近形式：
$$ W_r(z) \approx \log z-\log \log z $$
为了找到 $r$ 中的第一个校正项，我们将展开式代入：
$$ W_r e^{a W_r}=z $$
使用微扰法，一阶校正为：
$$ W_r(z) \approx W(z)-\frac{W^2(z)}{a(1+W(z))} r $$
对于高阶校正，我们递归地代入方程。因此，像方程( 1 )这样的广义公式对于 $W_r$ 应该包含类似的渐近线，但具有依赖于 $r$ 的项，这些项校正了标准的兰伯特函数展开式。
$W_r(w)$ 的级数为：
$$ W_r(w)=W(w)-\frac{W^2(w)}{a w(1+W(w))} r-\frac{1}{2} \frac{W^3(w)\left(a^2W^2(w)-2\right)}{a^2w^2(W(w)+1)^3} r^2-\cdots\qquad(2) $$
为了分析收敛半径，我们考虑：