兰伯特函数，方程 $we^w = z$ 的解，由于指数项的存在，具有多分支结构。每个分支，记为 $W_k(z)$，对应于不同的解，由复平面中的分支切割分隔开。这些切割线从分支点发出，防止函数值出现歧义。主分支 $W_0(z)$ 通常被认为是主要解。理解这种分支结构对于正确评估和应用兰伯特函数至关重要，尤其是在复分析和微分方程等领域。可视化黎曼曲面有助于理解这种多值性质。

🧠 (1,1)-兰伯特函数

经典的兰伯特 $W$ 函数定义为多值函数的逆函数：

$$ W e^W=z $$

它出现在数学和物理学的许多分支中，并且具有经过充分研究的渐近展开式和分支结构。

r-兰伯特函数（或 (1, 1)-兰伯特函数）将其推广到方程：

$$ W_r e^{a W_r}=z $$

这允许将其他参数引入到函数的结构中。推广到 (n, m)-型兰伯特函数，类型为 (n, m) 的函数应该满足以下形式的方程：

$$ P(W) e^{Q(W)}=z $$

其中 $P(W)$ 是 $n$ 次多项式，$Q(W)$ 是 $m$ 次多项式。这种推广引入了丰富的分支、渐近线和奇点结构。

🧠 (2,1)-兰伯特函数

这里，我们考虑以下形式的方程：

$$ \left(W^2+a W\right) e^{b W}=z $$

该函数引入了类似于经典兰伯特函数的超越行为，但具有额外的多项式非线性。

• 分支结构： $W$ 的多值性质将比经典情况更复杂。分支点出现在以下位置：

$$ \frac{d}{d W}\left(\left(W^2+a W\right) e^{b W}\right)=0 $$

这导致了临界点的隐式方程。

• 渐近线：对于大的 $z$，我们期望像这样的前导行为：

$$ W \approx \frac{1}{b} \log z+O(1) $$

修正项取决于 $a, b$。