微分不等式是涉及未知函数及其导数的不等式，广泛应用于数学分析、偏微分方程、控制理论及应用数学等领域。它们用于研究函数的性质和行为，尤其是在动态系统、最优控制和数值分析中的重要性不言而喻。

✍️提及

MATLAB生物细胞瞬态滞后随机建模定量分析

一、微分不等式的定义

微分不等式可以写成一般形式，如：

$$ \frac{dy(t)}{dt} \leq f(t, y(t)) $$

其中：

• $y(t)$ 是待求的函数；
• $f(t, y(t))$ 是已知的函数；
• 不等式的方向可以是“$\leq$”或“$\geq$”。

二、类型

1. 一阶微分不等式

   形如： $y' \leq f(t, y)$ 研究函数 $y$ 的增减性和界限。

2. 高阶微分不等式

   形如： $y^{(n)} \leq f(t, y, y', y'', \ldots, y^{(n-1)})$ 用于研究高阶导数的性质。

3. 偏微分不等式

   形如： $\frac{\partial u}{\partial t} \leq f(t, x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots)$ 适用于多变量函数的情况。

三、微分不等式的性质

1. 解的存在性与唯一性

   在一定条件下，微分不等式的解可能是存在的，并且有时可以证明解的唯一性。

2. 比较原理

   微分不等式常常具有比较原理。假设 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 是满足下列不等式的解： $y_1' \leq f(t, y_1) \quad \text{和} \quad y_2' \leq f(t, y_2)$ 如果 $y_1(t_0) \leq y_2(t_0)$ 对某个时刻 $t_0$ 成立，则在后续时刻 $t$ 上 $y_1(t) \leq y_2(t)$。

3. 有界性

   通过微分不等式可以推导出解的界限，从而研究解的有界性和渐近行为。

四、应用

微分不等式在多个领域具有重要应用：