📚旁征博引

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随机图

🎯要点

🎯种群离散时间莫兰生死动态图解 | 🎯良好混合种群的固定概率 | 🎯数值求解生成埃尔多斯-雷尼图 | 🎯计算马尔可夫链的转移矩阵概率 | 🎯出生死亡动态和死亡出生动态概率无向随机图和有向随机图，转移矩阵概率计算

📜进化图用例

📜Python种群邻接矩阵彗星风筝进化图算法

📜Python和C++骨髓细胞进化解析数学模型

🍪语言内容分比

pie title 语言分比
 "Python":90
 "C++":10

pie title 内容分比
 "种群进化图":90
 "莫兰过程":80
 "数学、概率、矩阵":50
 "图论":40
 "无向图":30
 "出生死亡动态":20

✂️梗概

🍇Python转移矩阵

令 E 定义构成时间序列数据的 k 个唯一事件集。例如，时间序列可能由以下三个基本且唯一的事件组成，这些事件表示在离散时间步长上绘制数据时观察到的路径轨迹类型：向下、持平和向上。令 $S$ 定义长度为 $n$（表示离散时间步长）的序列，该序列由E 中定义的事件组成，表示部分或全部数据。例如，序列 [向上、向下、向上、持平、向上] 表示五个时间步长的数据。

现在可以定义一个维度为 $k^2$的马尔可夫转移矩阵 $M$，使得每个元素 $M(i, j)$ 描述在给定时间序列中从时间步骤 $t$ 中的事件 $E(i)$转移到时间步骤 $t +1$ 中的事件 $E(j)$ 的概率。换句话说，$M(i, j)$ 表示在连续时间步骤中两个事件之间转移的条件概率。从图论意义上讲，如果时间序列数据中 $E(i)$ 后面是 $E(j)$，则事件 $E(i)$ 和 $E(j)$ 可以被认为是由有向边 $E(i) \rightarrow E(j)$ 连接的节点，那么马尔可夫转移矩阵 M 本质上表示图中节点所描绘事件的邻接矩阵（或共现矩阵）的规范化版本。

假设我们有以下涵盖 11 个连续时间步长的原始时间序列数据：[1, 2, -2, -1, 0, 0, 2, 2, 1, 2, 3]。使用上面描述的路径轨迹的简化视图，我们可以将数据转换为以下 10 个事件序列，这些事件描述相邻时间步长之间的转换：[上、下、上、上、平、上、平、下、上、上]。

我们现在可以构建以下邻接矩阵来捕获事件序列中同时出现的模式：

$$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}\right) $$

元素 $A(i, j)$ 表示事件序列中某个时间步 $t$ 的事件 $i$ 后面跟着时间步 $t+1$ 的事件 $j$ 的次数； $i$ 和 $j$ 分别是行索引和列索引。请注意，行表示从上到下、从上到下的顺序的事件，而列从左到右表示相同的事件。例如，A 的左上角元素表示在给定的事件序列中，上事件后紧跟着另一个上事件两次。 A 的中右元素表示在事件序列中，平事件之后紧接着下事件。等等。

我们可以按行或按列标准化矩阵 A 以生成转换矩阵。如果我们使用基于行的归一化，则元素 $M(i, j)$ 将描述给定事件 $E(i)$ 在时间步 $t+1$ 中看到事件 $E(j)$ 的概率时间步$t$。因此，每行中的概率之和应为 1 。在我们的示例中，行归一化矩阵如下所示：