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逆动力学是指计算运动中的力。给定配置 $q$、广义速度 $\dot{ q }$ 和广义加速度 $\ddot{ q }$，相当于找到关节扭矩 $\tau$ 和接触力 $f ^{\text {ext } }$ 使得运动约束方程得到满足：
$$ \begin{aligned} M ( q ) \ddot{ q }+\dot{ q }^{\top} C ( q ) \dot{ q } & = S ^{\top} \tau + \tau _g( q )+ \tau ^{\text {est }}+ J ( q )^{\top} f ^{\text {ext }} \\ J ( q ) \ddot{ q }+\dot{ q }^{\top} H ( q ) \dot{ q } & = 0 \end{aligned} $$
逆动力学的数学函数如下：
$$ \left(\tau, f ^{e x t}\right)=\operatorname{ID}( q , \dot{ q }, \ddot{ q }) $$
当我们的线性系统完全确定时，该函数定义明确，例如对于具有六个自由度的手臂，但对于在多个接触下的移动机器人，该函数通常是欠确定的。在这种情况下，我们可以将外力的计算转移到例如接触模型，并仅计算关节扭矩：
$$ \tau =\operatorname{RNEA}\left( q , \dot{ q }, \ddot{ q }, f ^{\text {est }}\right) $$
递归牛顿-欧拉算法为我们提供了一种实现此功能的有效方法。该算法分为两步：前向传递，主要是二阶正向运动学，然后是后向传递，计算力和关节扭矩。
此算法第一遍计算主体速度 $v _i$ 和加速度 $a _i$。从运动树的根 $i=0$ 开始，物体 i 的运动 $v _i$, $a _i$ 是根据运动 $v _{\lambda(i)}, a _{\lambda( i)}$ 其父体 $\lambda(i)$ 的分量，加上它们之间的关节的运动 $\dot{ q }_i, \ddot{ q }_i$ 引起的分量。让我们从主体速度开始：
$$ v _i={ }^i X _{\lambda(i)} v _{\lambda(i)}+ S _i \dot{ q }_i $$
在此方程中，${ }^i X _{\lambda(i)}$ 是从 $\lambda(i)$ 到 $i$ 的 Plücker 变换，$S _i$ 是关节的运动子空间矩阵。请注意，$\dot{ q }_i \in R ^k$ 是关节的速度，例如对于浮动底座（又名自由飞行器）关节，$k=6$，对于球形关节，$k=2$，对于旋转关节或棱柱关节，$k=1$。无论如何，$\dot{ q }_i$ 不是广义速度向量 $\dot{ q }$ 的 $i^{\text {th }}$ 分量（这没有意义，因为 $i$ 是关节的索引，而向量 $\dot{ q }$ 按自由度索引）。因此，运动子空间矩阵的维度为 $6 \times k$。
接下来，让我们假设一个“常见”关节（旋转关节、棱柱关节、螺旋关节、圆柱关节、平面关节、球形关节、自由飞行关节），这样运动子空间矩阵的视在时间导数为零。除非你处理的是不同的关节，否则不要介意这句话。 然后，在前向传递过程中从父关节计算出的主体加速度为：
$$ a _i={ }^i X _{\lambda(i)} a _{\lambda(i)}+ S _i \ddot{ q }_i+ v _i \times S _i \dot{ q }_i $$
到目前为止，该正向传递是二阶正向运动学。一路上我们要计算的最后一件事是由主体运动 $v _i$ ，$a _i$产生的主体惯性力：