<aside> <img src="/icons/condense_yellow.svg" alt="/icons/condense_yellow.svg" width="40px" /> Python | 物理 | 数学 | 偏微分方程 | 波动方程 | 二维变速 | 算子 | 双曲波 | 耗散系统 | 粘性伯格斯方程 | 算法 | 傅里叶 | 线性和非线性 | 对流扩散 | 湍流 | 模型

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🎯要点

🎯达朗贝尔一维波动通解，二维变速模拟 | 🎯达朗贝尔算子解双曲波形微分方程 | 🎯耗散系统粘性伯格斯方程快速傅里叶变换算法 | 🎯二维线性和非线性对流扩散解和湍流隐式建模

📜偏微分方程用例：Python自动造波器椭圆曲线波孤子解

📜有限差分用例：Python微磁学磁倾斜和西塔规则算法

pie title 语言分比
 "Python":90
 "C++":40

pie title 内容分比
 "物理":90
 "数学":89
 "偏微分方程":80
 "流体力学":70
 "算法":40
 "对流扩散":20
 "波形传播":10
 "数值模拟":40

✂️梗概

🍇Python一维粘性伯格斯方程

一维空间中粘性伯格斯方程的一般形式是耗散系统：

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

此项 $u \partial u / \partial x$ 也可以重写为 $\partial\left(u^2 / 2\right) / \partial x$。当扩散项不存在时（即 $\nu=0$ ），粘性伯格斯程变为无粘伯格斯方程：

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=0 $$

这是可以产生不连续性（冲击波）的守恒方程的原型。

当人们检查等式的左侧时，$\nu$ 的小值形成锐梯度的原因就变得直观清楚了。此项 $\partial / \partial t+u \partial / \partial x$ 显然是一个波算子，描述以 $u$ 速度沿正 $x$ 方向传播的波。由于波速为u，表现出较大u值的区域将比表现出较小$u$值的区域更快地向右传播；换句话说，如果 $u$ 最初沿 $x$ 方向减小，则位于背面的较大 $u$ 将赶上位于正面的较小 $u$ 。右侧扩散项的作用本质上是阻止梯度变得无穷大。

在此，我们将使用非线性对流和扩散，仅创建一维伯格方程。

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

我们可以离散化这个微分，采用以下形式：

$$ \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}+u_i^n \frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\Delta x}=v \frac{u_{i+1}^n-2 u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2} $$

在解决了未知数之后，我们得到了用 Python 编码的算法。