概率分布 | 亚图跨际

概率分布是指在随机试验中，随机变量取不同值的概率分布情况。概率分布描述了不同结果发生的可能性，可以是离散型（如掷骰子）或连续型（如人的身高）。不同的概率分布模型用来描述自然现象、统计数据或不确定性系统，广泛应用于统计学、数据科学、机器学习、金融、物理和工程等领域。

✍️提及

伯努利分布（Bernoulli Distribution）
- 用于描述一次只有两个可能结果的随机实验，常见于0-1事件（如投硬币正反面）。
- 参数： $p$ 为事件发生的概率。
- 概率质量函数（PMF）： $P(X = x) = p^x (1 - p)^{1 - x}, \quad x \in \{0, 1\}$
二项分布（Binomial Distribution）
- 描述 $n$ 次独立的伯努利试验中，事件发生 $k$ 次的概率，如多次投硬币的正面次数。
- 参数： $n$ 为实验次数， $p$ 为事件发生的概率。
- PMF： $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \dots, n$
几何分布（Geometric Distribution）
- 描述第一次成功前的失败次数，即直到第一次成功的试验次数。
- 参数： $p$ 为成功的概率。
- PMF： $P(X = k) = (1 - p)^k p, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
泊松分布（Poisson Distribution）
- 描述单位时间或空间内发生某事件的次数（如顾客到达、网络请求数等），适用于稀疏事件。
- 参数：$ \lambda $ 为事件平均发生率。
- PMF： $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$

均匀分布（Uniform Distribution）
- 每个值在指定范围内发生的概率相同，常用于随机选择。
- 参数：区间 $[a, b]$ 。
- 概率密度函数（PDF）： $f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad x \in [a, b]$
正态分布（Normal Distribution）
- 描述许多自然现象，具有“钟形曲线”形状，如身高、体重等。
- 参数： $\mu$ 为均值， $\sigma$ 为标准差。
- PDF： $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}$
指数分布（Exponential Distribution）
- 描述独立事件之间的时间间隔，常用于生存分析和排队论。
- 参数： $\lambda$ 为事件发生率。
- PDF： $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$
伽玛分布（Gamma Distribution）
- 用于描述等待时间和生存时间的总和。
- 参数：形状参数 $k$ 和尺度参数 $\theta$ 。
- PDF： $f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x / \theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0$
卡方分布（Chi-Squared Distribution）
- 用于假设检验和方差分析，是多个独立正态分布随机变量平方和的分布。
- 参数：自由度 $k$ 。
- PDF： $f(x) = \frac{x^{(k/2 - 1)} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)}, \quad x > 0$
t分布（Student's t-Distribution）
- 用于小样本数据的均值估计，其形状取决于自由度。
- 参数：自由度 $\nu$ 。
- PDF较为复杂，形状类似正态分布，但尾部更厚。