相关概率密度函数是用于描述多个随机变量之间相互关系的概率密度函数。在统计学和概率论中，当我们关注两个或多个随机变量同时发生的概率时，就会使用相关概率密度函数。
✍️提及
MATLAB生物细胞瞬态滞后随机建模定量分析
概率分布 概率
一、定义
设有两个连续随机变量 $X$ 和 $Y$，其联合概率密度函数通常记作 $f_{X,Y}(x,y)$，表示 $X$ 取值在 $x$ 附近且 $Y$ 取值在 $y$ 附近的概率密度。
联合概率密度函数的性质：
- 非负性：对于所有 $x$ 和 $y$：
$f_{X,Y}(x,y) \geq 0$
- 归一性：联合概率密度函数的积分在整个 $X$ 和 $Y$ 的范围内等于 1：
$\iint_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy = 1$
- 边际密度函数：通过对联合概率密度函数进行积分，可以得到边际概率密度函数：
- $X$ 的边际密度函数：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy$
- $Y$ 的边际密度函数：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx$
二、相关性
两个随机变量之间的相关性可以通过相关系数来度量。相关系数通常用 $\rho_{X,Y}$ 表示，计算公式为：
$\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
其中：
- $\text{Cov}(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。
- $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别是随机变量 $X$ 和 $Y$ 的标准差。
三、独立性
如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的，则它们的联合概率密度函数可以表示为各自的边际密度函数的乘积：
$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
反之，如果已知联合概率密度函数，可以通过检查是否满足上述条件来判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立。
四、例子