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常微分方程 (ODE) 是涉及函数的一些常导数（而不是偏导数）的方程。通常，我们的目标是求解 ODE，即确定哪个或哪些函数满足方程。
如果你知道函数的导数是什么，那么如何求函数本身呢？你需要找到反导数，即你需要积分。例如，如果给你
$$ \frac{ d x}{ d t}(t)=\cos t $$
那么函数 $x(t)$ 是什么？由于$\cos t$ 的反导数是$\sin t$，那么x(t) 必定是$\sin t$。只是我们忘记了一个重要的一点：如果我们只知道导数，那么总是存在一个我们无法确定的任意常数。因此，我们从上面的方程可以确定的是
$$ x(t)=\sin t+C $$
对于某个任意常数 C。您可以验证 $x(t)$ 确实满足方程 $\frac{ d x}{ d t}=\cos t$。
一般来说，求解 ODE 比简单积分更复杂。即便如此，基本原则始终是积分，因为我们需要从导数到函数。通常，困难的部分是确定我们需要进行哪些积分。
不过，让我们从更简单的开始吧。最简单的 ODE 是什么？令 $x(t)$ 为满足 ODE 的 $t$ 函数：
$$ \frac{ d x}{ d t}=0 \qquad(1) $$
我们可以问一些简单的问题。什么是 $x(t)$ ？ $x(t)$ 是由该方程唯一确定的吗？如果不是，还需要说明什么吗？
上述等式仅仅意味着$x(t)$是一个常数函数，$x(t)=C$。它当然不是唯一确定的，因为如果我们只有 x 的导数方程，则无法指定常数 C。为了唯一地确定 $x(t)$，必须根据函数 $x(t)$ 本身提供一些附加数据。
让我们把事情变得更复杂一点。考虑方程
$$ \frac{ d x}{ d t}=m \sin t+n t^3 \qquad(2) $$
其中 m 和 n 只是一些实数。方程 (2) 并不比方程 (1) 复杂多少，因为右侧不依赖于 x。它仅取决于t。我们只是简单地用 t 来指定导数。解就是反导数或积分。
这次让我们以稍微不同的方式进行积分。我们将使用从时间 t=a 到时间 t=b 的定积分。使用微积分基本定理，$\frac{ d x}{ d t}$ 从 a 到 b 的积分必须为
$$ \begin{aligned} x(b)-x(a) & =\int_a^b \frac{ d x}{ d t} d t \\ & =\int_a^b\left(m \sin t+n t^3\right) d t \\ & =-m \cos b+n b^4 / 4-\left(-m \cos a+n a^4 / 4\right) . \end{aligned} $$