本课程展示了从基础的理想化一维力学模型（弹性弦和梁）到更复杂的二维物理系统（弹性膜、波传播、热扩散）以及抽象的数学/金融概念（传输、薛定谔、布莱克-斯科尔斯），最终到数值方法（椭圆问题的有限差分）的进展过程。课程结合绘图、详细分析和动态动画，阐述了物理现象日益复杂，如何需要高阶微分方程和复杂的计算技术来模拟其行为，而这些结果往往与简单系统相比违反直觉。
有限差分法 (FDM)、有限元法 (FEM) 和有限体积法 (FVM) 等数值方法，对于求解偏微分方程 (PDEs) 至关重要。偏微分方程描述了科学、工程和金融领域中的各种现象，尤其是在复杂几何形状或非线性行为导致难以获得解析解时。
偏微分方程（PDE）是我们用来描述科学、工程和金融领域中各种现象的语言——从流体流动和热传递到波的传播和金融衍生品的定价。然而，这些方程的解析解通常难以获得，尤其是在处理复杂几何形状或非线性行为时。这时，数值方法就发挥了作用，它提供了近似解并深入了解潜在过程的强大工具。
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$\gg$A Guide to Finite Difference, Finite Element, and Finite Volume Methods for PDEs
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求解偏微分方程的最广泛使用的数值技术包括有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限体积法（FVM）。每种方法都致力于在离散网格上逼近连续解，但它们在如何离散化PDE和表示解方面存在根本的不同。
选择正确的数值方法在很大程度上取决于特定的PDE、定义域的几何形状、所需的精度和计算资源。每种方法都有其优点和缺点：
理解这些方法的基本原理对于任何使用PDE描述的数学模型的人来说至关重要。它们为研究和工业界用于模拟和分析复杂物理系统的大量软件工具提供了基础。本指南旨在为探索这些强大的数值技术提供一个起点，为更深入地研究它们的理论基础、实现细节和在实际问题中的应用铺平道路。
该雷达图显示了对 PDE 数值方法的高度重视，以及对 PDE 函数分析、PDE 变分公式、线性代数和数值线性代数、数学概念和应用的较少但存在的参与。
This radar chart shows a strong emphasis on Numerical Methods for PDEs and lesser, but present, engagement with Functional Analysis for PDEs, Variational Formulation of PDEs, Linear Algebra and Numerical Linear Algebra, Mathematical Concepts, and Applications.
该云计算框架全面探索了基本的偏微分方程（波、热和传输方程）及其数值方法，深入研究了 PDE 的功能分析和变分方法，并研究了数值 PDE 解中固有的线性代数挑战。
该云计算框架全面探索了基本的偏微分方程（波、热和传输方程）及其数值方法，深入研究了 PDE 的功能分析和变分方法，并研究了数值 PDE 解中固有的线性代数挑战。
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